Themen dieses Kurses

  • Louis Bachelier, Wegbereiter der Theorie der stochastischen Prozesse

    Wie sich erst Jahrzehnte später herausstellte, war Louis Bachelier seiner Zeit weit voraus: in seiner Arbeit operierte er schon mit dem Wiener Prozess, fünf Jahre bevor Albert Einstein diesen – zum zweiten Mal – entdeckte. Auch gab Bachelier explizite Preisformeln für Standard- (Put- und Call-Optionen und Barrier-Optionen an, 73 Jahre bevor dies Black und Scholes gelang. Basierend auf seinen Arbeiten errichteten Wirtschaftswissenschaftler eine ausgefeilte und umfassende Theorie der Finanzmärkte und des Risikomanagements, d. h. wie Kurse sich ändern, wie Investoren denken und wie man Risiko als die ruhelose Seele des Marktes versteht.

    Louis Bachelier (* 11. März 1870 in Le Havre, † 26. April 1946 in St-Servan-sur-Mer)
    Louis Bachelier (* 11. März 1870 in Le Havre, † 26. April 1946 in St-Servan-sur-Mer)

    Als Geburtsstunde der modernen Finanzmathematik gilt heute das Jahr 1900, da in diesem Jahr Louis Bachelier (* 11. März 1870 in Le Havre, † 26. April 1946 in St-Servan-sur-Mer) seine Dissertation "Théorie de la spéculation" veröffentlichte. Im Jahr 1900 stand Louis Bachelier vor seinem Doktovater Henri Poincaré – dem zur damaligen Zeit wohl berühmtesten Mathematiker, Physiker und Philosophen – und musste seine letzten Prüfungen absolvieren. Die Ausbildung des jungen Mathematikers Bachelier war zuvor bestenfalls mittelmäßig gewesen, was vor allem damit zusammenhing, dass er im Alter von 19 Jahren Vater und Mutter verlor und im Geschäft seiner Familie arbeiten musste. 

    Die erste Prüfung war ein mündliches Examen zu einem vorher gewählten und genehmigten Standardthema. Bachelier hatte sich für Fragen rund um die Mechanik von Flüssigkeiten entschieden. Geprüft wurden sowohl seine rhetorischen als auch seine fachlichen Fähigkeiten. Dem Abschlussbericht des Prüfungsgremiums zufolge hatte Bachelier das Thema "tiefgreifend erfasst". Der zweite und wesentliche Teil seines Examens beschäftigte sich mit seinem eigenen Forschungsgebiet, der "Théorie de la spéculation", einer Untersuchung des Handels von Regierungsanleihen an der Pariser Börse. Zur damaligen Zeit hatte der Handel bzw. das Glücksspiel mit Wertpapieren in Frankreich einen eher fragwürdigen Ruf. Erst 15 Jahre zuvor waren dort Termingeschäfte mit Währungen legalisiert worden. Leerverkäufe, also der Verkauf geliehener Wertpapiere in der Hoffnung, von fallenden Preisen zu profitieren, war absolut tabu. Und insgesamt wurde zur damaligen Zeit die akademische Welt Frankreichs von einer elitären Institution beherrscht, in der Außenseiter und Querdenker – als der Louis Bachelier galt – kaum geduldet wurden.

    Aktienkurse folgen einem unvorhersagbaren Zick-Zack

    In seinen Arbeiten behauptete Bachelier, dass Aktienkurse rein zufällig verlaufen: Wie ein Betrunkener, dessen Schritte zufällig nach rechts oder nach links vom Weg abweichen, bewegen sich Aktienkurse in einem unvorhersagbaren Zick-Zack. Im Durchschnitt – genau wie beim Münzwurf – gelangt er nirgendwohin. Wenn man also nur den Mittelwert betrachtet, bleibt sein zufallsbestimmter Spaziergang für immer auf den Ausgangspunkt beschränkt. Und das wäre auch die bestmögliche Vorhersage für seine künftige Position zu jedem beliebigen Zeitpunkt. Dieser sogenannte "Random Walk" der Aktienkurse schockierte zur damaligen Zeit die Welt der Ökonomen. Wie kann es sein, dass Aktienkurse, welche doch durch rationale Investitionsentscheidungen determiniert werden, rein zufällig sind?

    Auch der Kurs einer Anleihe wird – sofern neue Marktinformationen fehlen, die den Kurs in die eine oder andere Richtung treiben – im Durchschnitt um seinen Ausgangspunkt schwanken. Kurzum: Der heutige Kurs ist die beste Vorhersage. Keine Kursänderung hängt mit der vorhergehenden zusammen. Die Kursänderungen bilden eine Reihe unabhängiger und gleichverteilter Zufallsvariablen. Bachelier zeichnete alle Änderungen der Anleihenkurse über einen Monat bzw. ein Jahr auf und kam zu dem Ergebnis, dass sie die Form der Gauß’schen Glockenkurve annahmen, das heißt kleine Änderungen häufen sich im Zentrum der Glocke, die wenigen großen Änderungen liegen an den Rändern. Und so kam es, dass die von Gauß entwickelte Normalverteilung – basierend auf den Untersuchungen von Bachelier – auf die Finanzmärkte angewendet wurde. 

    Bereits viele Jahre zuvor, im Jahr 1827, hatte der schottische Botaniker Robert Brown die Beobachtungen gemacht, dass sich Blütenstaubkörner oder andere kleine Teilchen, die in Wasser gelegt wurden, durch "Zittern" bewegten. Diese Bewegung wird durch zufällige Zusammenstösse von Teilchen ausgelöst. Im Bereich der Finanzwirtschaft werden Kursentwicklungen nicht durch physische, sondern durch informative Zusammenstösse induziert. Gute Nachrichten führen zu Kurssteigerungen und vice versa. Heute ist diese Erkenntnis unter der Terminus "Brownsche Bewegung" bekannt. 

    Bachelier baute das Fundament für die moderne Finanztheorie

    Wie sich erst Jahrzehnte später herausstellte, war Louis Bachelier seiner Zeit weit voraus: in seiner Arbeit operierte er schon mit dem Wiener Prozess, fünf Jahre bevor Albert Einstein diesen – zum zweiten Mal – entdeckte. Auch gab Bachelier explizite Preisformeln für Standard- (Put- und Call-Optionen und Barrier-Optionen an, 73 Jahre bevor dies Black und Scholes gelang. Basierend auf seinen Arbeiten errichteten Wirtschaftswissenschaftler eine ausgefeilte und umfassende Theorie der Finanzmärkte und des Risikomanagements, das heißt wie Kurse sich ändern, wie Investoren denken und wie man Risiko als die ruhelose Seele des Marktes versteht. 

    Bacheliers Lehren fanden an der Wall Street bereitwillig Schüler und wurden "zum Katechismus für das, was man heute als ‚moderne’ Finanztheorie bezeichnet", so der Mathematiker und Erfinder der fraktalen Geometrie, Benoît B. Mandelbrot. Ihre breiter gefassten Grundsätze definieren immer noch den Rahmen, in dem ein großer Teil der Geldströme auf der Welt dargestellt wird. Der Wirtschaftswissenschaftler Paul H. Cootner merkt in diesem Kontext an, das Bacheliers Werk so herausragend war, "dass wir sagen können, die Untersuchung spekulativer Kurse habe ihren größten Moment in dem Augenblick erlebt, als sie konzipiert wurde." 

    So geht auch der Ansatz des CAPM (Capital Asset Pricing Model), der in den frühen sechziger Jahren von William F. Sharpe entwickelt wurde, auf die Ansätze von Bachelier zurück. Ebenfalls zu den von Bachelier angeregten Werkzeugen gehört die Moderne Portfoliotheorie, das in den fünfziger Jahren von Harry M. Markowitz entwickelt wurde.

    Der Ansatz von Bachelier wurde später – im Jahr 1956, das heußt zehn Jahre nach seinem Tod – von P. A. Samuelson aufgegriffen und in exponentieller Form als geometrische Brownsche Bewegung zur Beschreibung von Aktienkursen etabliert. Auch das in der Finanzwirtschaft benutzte Optionsbewertungsmodell von Black und Scholes geht davon aus, dass die Aktienpreisprozesse mit dem Bachelier-Modell modellierbar sind. Robert C. Merton revolutioniert anfangs der siebziger Jahre die Finanzmarkttheorie durch Einführung zeitstetiger stochastischer Prozesse – basierend auf den Erkenntnissen Bacheliers. Dies führt zu einem Durchbruch in diversen Bereichen der Finanzmärkte, u.a. bei der Portfolioselektion, beim Design dynamischer Hedging-Strategien sowie der Arbitragebewertung von Optionen.

    Viele der heute üblichen Techniken im Bereich der modernen Finanztheorie wurden von Bachelier zum ersten Mal beschrieben. Seine Ideen wurden zum Leitprinzip für viele der Standardwerkzeuge im modernen Finanzwesen. Daher trägt die internationale finanzmathematische Gesellschaft zu seinen Ehren heute den Namen Bachelier Society.

    "Die Wahrscheinlichkeitsberechnung kann zweifellos niemals auf die Aktivitäten des Marktes angewandt werden, und die Dynamik der Börse wird nie zu einer exakten Wissenschaft werden. Es ist aber möglich, den Zustand des Marktes in einem bestimmten Augenblick mathematisch zu untersuchen – das heisst, die Gesetze der Wahrscheinlichkeit von Kursänderungen so zu formulieren, die der Markt in diesem Moment diktiert."

    Weiterführende Literaturhinweise:

    • Bachelier, L. (1900): Théorie de la Spéculation, Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Supérieure, 3rd. Ser. 17, 21-88. (Translated in: The Random Character of Stock Market Prices, edited by Paul Cootner (1964), Cambridge/Massachusetts). 
    • Bachelier, L./Samuelson, P. A./Davis, M.  et al. (2006): Louis Bachelier's Theory of Speculation: The Origins of Modern Finance, Princeton NJ 2006. 
    • De Bondt, W./Thaler, R. (1985): Does the Stock Market Overreact?, in:  Journal of Finance, 40, S.  793-805. 
    • Mandelbrot, B. B./Hudson, R. L. (2004): The (mis)Behavior of Markets – A Fractal View of Risk, Ruin and Reward, New York 2004. 
    • Samuelson, P. A. (1965): Rational theory of warrent pricing. Industrial Managment Review 6, S. 13-32.
    • Jakob Bernoulli, (Mit-)entwickler der Wahrscheinlichkeitsrechnung

      Nicht nur die Risikomanager wissen, dass es die weissagende Kristallkugel nicht gibt. Der Verlauf des Lebens lässt sich nicht vorhersagen. Trotz alledem wollten Menschen schon immer wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt? Wie hoch ist etwa die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schiff nach langer und risikoreicher Seefahrt wieder in den Heimathafen zurückkehrt.

      Jakob I. Bernoulli (*6. Januar 1655 in Basel; † 16. August 1705 in Basel)

      Das Gesetz des großen Zahlen

      Das Gesetz des großen Zahlen lässt sich sehr einfach an einem Würfel erklären: Welche Augenzahl im Einzelfall gewürfelt wird ist immer zufällig. So kann die Wahrscheinlichkeit, dass eine Sechs gewürfelt wird, als ein Sechstel angegeben werden. Auf Dauer fällt jedoch jede Zahl gleich häufig. Bernoulli sagt nicht anderes, als dass ich die Treffer auf Dauer gleichmäßig verteilen. In seinem Werk "Ars conjectandi" beschreibt Bernoulli das "Gesetz der großen Zahlen" auf eine sehr anschauliche Art

      "[...] So sind zum Beispiel bei Würfeln die Zahlen der Fälle bekannt, denn es giebt für jeden einzelnen Würfel ebensoviele Fälle als er Flächen hat; alle diese Fälle sind auch gleich leicht möglich, da wegen der gleichen Gestalt aller Flächen und wegen des gleichmässig vertheilten Gewichtes des Würfels kein Grund dafür vorhanden ist, dass eine Würfelfläche leichter als eine andere fallen sollte, was der Fall sein würde, wenn die Würfelflächen verschiedene Gestalt besässen und ein Theil des Würfels aus schwererem Materiale angefertigt wäre als der andere Theil. So sind auch die Zahlen der Fälle für das Ziehen eines weissen oder eines schwarzen Steinchens aus einer Urne bekannt und können alle Steinchen auch gleich leicht gezogen werden, weil bekannt ist, wieviele Steinchen von jeder Art in der Urne vorhanden sind, und weil sich kein Grund augeben lässt, warum dieses oder jenes Steinchen leichter als irgend ein anderes gezogen werden sollte. […] Man muss vielmehr noch Weiteres in Betracht ziehen, woran vielleicht Niemand bisher auch nur gedacht hat. Es bleibt nämlich noch zu untersuchen, ob durch Vermehrung der Beobachtungen beständig auch die Wahrscheinlichkeit dafür wächst, dass die Zahl der günstigen zu der Zahl der ungünstigen Beobachtungen das wahre Verhältniss erreicht, und zwar in dem Maasse, dass diese Wahrscheinlichkeit schliesslich jeden beliebigen Grad der Gewissheit übertrifft, oder ob das Problem vielmehr, so zu sagen, seine Asymptote hat, d. h. ob ein bestimmter Grad der Gewissheit, das wahre Verhältniss der Fälle gefunden zu haben, vorhanden ist, welcher auch bei beliebiger Vermehrung der Beobachtungen niemals überschritten werden kann, zum Beispiel dass wir niemals über 1/2, 2/3 oder 3/4, der Gewissheit hinaus Sicherheit erlangen können, das wahre Verhältniss der Fälle ermittelt zu haben. [...]“

      Ein mit schwarzen und weißen Kieseln gefüllter Krug

      Ausgangspunkt von Bernoullis Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung war die Vorstellung eines mit schwarzen und weißen Kieseln gefüllten Kruges, wobei das Verhältnis von schwarzen zu weißen Kieseln oder gleichbedeutend das Verhältnis der Anzahl der schwarzen zur Gesamtanzahl der Kiesel im Krug, p:1, unbekannt sei. Es ist offensichtlich, dass die Methodik des Abzählens sehr aufwendig ist. Daher war Bernoulli auf der Suche nach einem empirischen Weg das tatsächliche Verhältnis von schwarzen und weißen Kieseln im Krug zu ermitteln. Hierzu wird ein Kiesel aus dem Krug genommen, bei einem schwarzen die Zahl 1, bei einem weißen die Zahl 0 notiert, und der Kiesel wieder in den Krug zurückgelegt. Offenbar sind die Ziehungen Xk unabhängig voneinander, und wir können davon ausgehen, dass die A-priori-Wahrscheinlichkeit P([Xk = 1]), dass ein Kiesel bei einer beliebigen Ziehung schwarz ist, gerade p ist, also P([Xk = 1]) = p. Bernoulli schließt nun, dass mit einer hohen Wahrscheinlichkeit das Verhältnis Bernoulli-Formel1 der Anzahl der gezogenen schwarzen Kiesel zur Gesamtzahl der Ziehungen von dem tatsächlichen, aber unbekannten Verhältnis p nur geringfügig abweicht, sofern nur die Gesamtzahl der Ziehungen hoch genug ist. Diese von Bernoulli entdeckte Gesetzmäßigkeit wird heute als das "schwache Gesetz der großen Zahlen" bezeichnet und lautet formal Bernoulli-Formel

       
      wobei ε eine beliebig kleine positive Zahl sei. Obwohl sich das von Bernoulli gefundene Resultat noch weiter verschärfen lässt zu dem sogenannten "starken Gesetz der großen Zahlen", welches besagt, dass das arithmetische Mittel Bernoulli-Formel3 mit wachsendem Wert n fast sicher gegen die gesuchte Verhältnisgröße p konvergiert, wohnt diesen Gesetzen ein großer Nachteil inne – wir wissen fast nichts über die Güte der betrachteten Stichprobe.

      Ars Conjectandi wurde 1713 in Basel veröffentlicht
      Ars Conjectandi wurde 1713 in Basel veröffentlicht

      Kunst der Vermutung

      Schließlich fasst Jakob Bernoulli Stochastik nicht nur als Glücksspielrechnung, sondern als Kunst der Vermutung (so lautet auch der lateinischee Titel von "Ars Conjectandi") auf: 

      "[...] Wenn also alle Ereignisse durch alle Ewigkeit hindurch fortgesetzt beobachtet würden (wodurch schliesslich die Wahrscheinlichkeit in volle Gewissheit übergehen müsste), so würde man finden, dass Alles in der Welt aus bestimmten Gründen und in bestimmter Gesetzmässigkeit eintritt, dass wir also gezwungen werden, auch bei noch so zufällig erscheinenden Dingen eine gewisse Nothwendigkeit, und sozusagen ein Fatum anzunehmen. Ich weiss nicht, ob hierauf schon Plato in seiner Lehre vom allgemeinen Kreislaufe der Dinge  hinzielen wollte, in welcher er behauptet, dass Alles nach Verlauf von unzähligen Jahrhunderten in den ursprünglichen Zustand zurückkehrt. [...]"

      Mit anderen Worten: Die scharfsinnige "Kunst des Vermutens" sollte dann eingesetzt werden, wenn unser Denken nicht mehr ausreicht, um uns die ausreichende Gewissheit bei einem zu Grunde liegenden Sachverhalt zu vermitteln.   

      In den Jahren 1676 bis 1682 reiste Jakob Bernoulli durch Deutschland, England, Frankreich, Holland und durch die Schweiz, um sich mit bedeutenden Naturforschern (wie etwa J. Huddle, R. Boyle und R. Hooke) zu treffen. Nach seiner Rückkehr hielt er Vorlesungen in Basel über Experimentalphyik. Als im Jahr 1687 der Lehrstuhl für Mathematik an der Universität Basel frei wurde, übertrug man diesen Jakob Bernoulli, den er bis zu seinem Tode innehatte.

      Grabstein von Jakob Bernoulli mit Inschrift "eadem mutata resurgo" (Bildquelle: Wladyslaw Sojka)

      Grabstein von Jakob Bernoulli mit Inschrift "eadem mutata resurgo" (Bildquelle: Wladyslaw Sojka)

      Verwandelt kehr ich als dieselbe wieder

      Fasziniert war Jakob Bernoulli bis zu seinem Tod insbesondere von den Eigenschaften einer logarithmischen Spirale. Hierbei handelt es sich um eine Spirale, die mit jeder Umdrehung den Abstand von ihrem Mittelpunkt, dem Pol, um den gleichen Faktor vergrößert. In umgekehrter Drehrichtung schlingt sich die Kurve mit abnehmendem Radius immer enger um den Pol.

      Noch heute kann man im Kreuzgang des Münsters zu Basel eine Spirale auf dem Grabstein von Jakob Bernoulli sehen. Der Erzählung nach war es ein Wunsch Jakob Bernoullis, dass seine geliebte logarithmische Spirale mit der Inschrift "eadem mutata resurgo" ("Verwandelt kehr ich als dieselbe wieder" auf seinen Grabstein eingemeißelt werden sollte. Bei genauerer Betrachtung des Grabsteins fällt jedoch auf (siehe Abbildung oben), dass es sich nicht um eine logarithmische Spirale, sondern vielmehr um eine Archimedische Spirale handelt. Vermutlich wusste der Steinmetz es nicht besser.

      Download:

      Download Artikel (PDF)

      Weiterführende Literaturhinweise:

      • Bernoulli, J. (1899): Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ars conjectandi), Dritter und vierter Theil. Übers. und hrsg. von R. Haussner (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften), Leipzig 1899.
      • Romeike, F./Hager, P. (2013): Erfolgsfaktor Risk Management 3.0 – Methoden, Beispiele, Checklisten: Praxishandbuch für Industrie und Handel, 3. Auflage, Wiesbaden 2013.
      • Augustin Louis Cauchy, französischer Mathematiker und Pionier der Analysis

        Augustin Louis Cauchy (* 21. August 1789 in Paris; † 23. Mai 1857 in Sceaux) war ein französischer Mathematiker und gilt als Pionier der Analysis. So führte er u. a. die strenge Beweisführung in die Analysis ein. Nach ihm wurde die Cauchy-Verteilung (oder auch t-Verteilung, Lorentz-Verteilung bzw. Breit-Wigner-Verteilung bekannt) benannt, die als Prototyp einer Verteilung gilt, die weder Erwartungswert noch Varianz oder Standardabweichung besitzt, da die entsprechenden Integrale nicht definiert sind.

        Louis Cauchy (* 21. August 1789 in Paris; † 23. Mai 1857 in Sceaux)
        Louis Cauchy (* 21. August 1789 in Paris; † 23. Mai 1857 in Sceaux)

        Augustin Louis Cauchy entstammt einer streng katholischen Familie. Sein Vater Louis-François war zur Zeit der Erstürmung der Bastille am 14. Juli 1789 die rechte Hand des Lieutenant Général der Polizei von Paris, Louis Thiroux de Crosne. Wenige Wochen nach den turbulenten Zeiten in den Straßen von Paris – aber immer noch mitten in den turbulenten Zeiten der französischen Revolution – wurde Augustin Louis geboren. Nachdem im April 1794 Thiroux de Crosne nach Paris zurückkehrte, sofort verhaftet und zum Tode verurteilt wurde, floh Louis-François mit seiner Familie nach Arcueil, wo sie auf dem Land in Armut und Hunger lebten. Als Kind der Revolution zahlte er der Freiheit und Gleichheit seinen Tribut und wuchs unterernährt auf. Der Hunger und die bittere Armut hinterließen bei Augustin Louis eine lebenslange Abneigung gegen Revolutionen. Im Landhaus in dem Dorf Arcueil kümmerte sich Cauchy senior um die Ausbildung seiner Kinder und schrieb u. a. seine eigenen Lehrbücher. Ein großer Teil der Lektionen galt der sorgfältigen religiösen Unterweisung, wobei ihn die Mutter tatkräftig unterstützte.

        "Eines Tages wird dieser Junge uns simple Geometer alle übertreffen."

        Arcueil grenzte an die stattlichen Güter des Marquis Laplace. Während des Aufenthalts in Arcueil stattete Laplace von Zeit zu Zeit dem Häuschen seines Freundes Cauchy einen Besuch ab. Dabei fiel ihm auch der junge Cauchy auf, der körperlich zu schwach war, um herumzutollen, und stattdessen wie ein büßender Mönch über seinen Büchern und Papieren saß. Laplace erkannte bald die  phänomenale mathematische Begabung des Knaben und riet ihm, mit seinen Kräften hauszuhalten. Schon ein paar Jahre später lauschte Laplace besorgt Cauchys Darlegungen über unendliche Reihen, weil er fürchten musste, die Entdeckungen des kühnen jungen Mannes über die Konvergenz könnten möglicherweise das Riesengebäude seiner eigenen Himmelsmechanik zum Einsturz bringen. Nachdem in Paris wieder Ruhe eingekehrt war, kehrte die Familie nach Paris zurück und Vater Louis-François wurde zum 1. Januar 1800 Generalsekretär des Senats. Dies führte zu einer engen Bekanntschaft mit dem damaligen Innenminister Pierre-Simon Laplace und dem Senator Joseph-Louis Lagrange, zwei bedeutenden Mathematikern. Sein Amtssitz war im Palais du Luxembourg. Der junge Cauchy durfte in einer Ecke des Büros seinen Studien nachgehen. So kam es, dass er häufig Lagrange begegnete, der damals Professor an der Polytechnique war. Auch er erkannte recht früh das mathematische Talent des Sohns, so soll etwa Lagrange gesagt haben: "Eines Tages wird dieser Junge uns simple Geometer alle übertreffen."

        Lagrange gab Cauchy senior einige vernünftige Ratschläge, weil er fürchtete, der zarte Knabe könnte sich vorzeitig erschöpfen: "Lassen Sie ihn kein Mathematikbuch anrühren, bevor er siebzehn ist." Lagrange meinte damit vor allem die höhere Mathematik. Er fuhr fort: "Wenn Sie Augustin nicht bald eine solide Allgemeinbildung geben, wird seine Neigung ihn fortreißen; er wird ein großer Mathematiker sein, aber unfähig, seine eigene Sprache zu schreiben." Der Vater nahm sich diesen Rat des größten Mathematikers seiner Zeit zu Herzen und verschaffte seinem Sohn eine gute literarische Bildung.

        So besuchte Augustin Louis ab dem Jahr 1802 zwei Jahre lang die École Centrale du Panthéon, wo er besonders in Latein und Griechisch glänzte. Daraufhin entschied er sich, die Ingenieurslaufbahn einzuschlagen, und nahm ab 1804 Mathematikunterricht, der ihn für die Aufnahmeprüfung an der jungen École Polytechnique vorbereiten sollte. Im Jahr 1805 trat er im Alter von sechzehn Jahren als zweitbester Bewerber in die Polytechnique ein. Von der Polytechnique wechselte Cauchy im Jahr 1807 in die staatliche Ingenieurschule (École Nationale des Ponts et Chaussées) und konzentrierte sich auf Straßen- und Brückenbau. Auch hier war er unter den Besten und durfte in seinem Praktikum unter Pierre Girard am Ourcq-Kanal mitarbeiten. Nach zwei Pflichtstudienjahren verließ er die Universität im Januar 1810 als aspirant-ingénieur.

        Der Ingenieur Napoleons

        Zu jener Zeit hoffte Napoleon immer noch, England durch eine Invasion in die Knie zwingen zu können. Dazu brauchte es aber eine gewaltige Flotte. Diese musste jedoch erst gebaut werden. Befestigte Häfen zum Schutz der Schiffswerften waren die vordringlichste Notwendigkeit für diese hochfliegenden Pläne. Daher wurde Cauchy im Februar 1810 den Auftrag, beim Bau des Hafens Port Napoléon in Cherbourg mitzuhelfen. Ziel war die Vorbereitung der Invasion Englands. Die Arbeiten waren umfangreich, und in seiner knappen Freizeit beschäftigte er sich mit der Mathematik. Cauchy blieb ungefähr drei Jahre in Cherbourg. In einem Brief vom 3. Juli 1811 schreibt er:

        "Ich stehe um vier Uhr auf und bin vom Morgen bis zum Abend tätig […] Die Arbeit ermüdet mich jedoch nicht. Im Gegenteil, sie kräftigt mich, und ich bin bei bester Gesundheit." Die militärischen Rückschläge vor Moskau im Jahr 1812 und bei Leipzig im Jahr 1813 lenkten Napoleon von seinem Traum einer Invasion Englands ab und ließen die Arbeiten in Cherbourg erlahmen. Im Jahr 1813 kehrte daher Cauchy nach Paris zurück. Er war erst 24 Jahre alt, hatte aber bereits die führenden Mathematiker Frankreichs durch seine glänzenden Forschungen auf sich aufmerksam gemacht, insbesondere durch die  Abhandlungen über Polyeder und über symmetrische Funktionen. So reifte auch recht schnell sein Entschluss, eine wissenschaftliche Laufbahn einzuschlagen.

        Mit seiner 1814 erschienenen Abhandlung über bestimmte Integrale mit komplexen Zahlen als Grenzen stieg Cauchy in die Reihe der führenden Mathematiker seiner Zeit auf. Der einzig ernsthafte "Konkurrent" war der schweigsame Gauß, zwölf Jahre älter als er, der 1811 zu diesem grundlegenden Satz gelangt war, drei Jahre vor Cauchy. Im Jahr 1815 erregte Cauchy Aufsehen, als er einen der großen Sätze bewies, die Fermat einer ratlosen Nachwelt hinterlassen hatte: Jede positive ganze Zahl ist die Summe von drei "Dreiecken", vier "Quadraten", fünf "Fünfecken", sechs "Sechsecken" et cetera, wobei Null in jedem Fall als Zahl der betreffenden Art mitgezählt wird.

        Professor an der École Polytechnique

        Die endgültige Niederlage Napoleons im Jahr 1815 verschaffte Cauchys Karriere einen rasanten Auftrieb. Ludwig XVIII. wurde jetzt König von Frankreich, und mit ihm gelangten reaktionäre Kräfte an die Macht. Augustin Louis erhielt im November 1815 eine Stelle als Assistenzprofessor an der École Polytechnique und bereits im Dezember eine volle Professur. Im März 1816 wurde die Académie des Sciences vom König selbst umgestaltet, zwei liberale Mitglieder entfernt und die freiwerdenden Plätze durch erzkonservative Wissenschaftler wie Cauchy besetzt, der den Platz von Gaspard Monge einnahm.

        Seine Schaffenskraft als Mathematiker war unfassbar. Nicht selten unterbreitete er in einer einzigen Woche der Akademie zwei volle Abhandlungen. Zusätzlich zu seinen eigenen Forschungen schrieb er zahllose Berichte über Abhandlungen, die von anderen der Akademie vorgelegt wurden. Zwischendurch fand er noch Zeit zu einer fast ununterbrochenen Folge von kurzen Aufsätzen über so gut wie alle Gebiete der Mathematik.

        Im Juli 1830 wurde der reaktionäre König Karl X. gestürzt und durch den liberalen Bürgerkönig Louis Philippe ersetzt. Die Studenten der École Polytechnique spielten eine nicht unbedeutende Rolle in den Pariser Straßenkämpfen. Für Cauchy war dies alles zu viel. Und so verließ er im September die Stadt und ließ seine Familie zurück. Zunächst ging er in die Schweiz, nach Freiburg im Üechtland, einer Hochburg der Jesuiten. Bald darauf erfuhr der König von Sardinien, dass der berühmte Cauchy ohne Stelle war, und machte ihn zum Professor für theoretische Physik in Turin. Rasch lernte Cauchy die italienische Sprache und hielt Vorlesungen. Bereits im Jahr 1833 verließ er die Stadt, um sich Karl X. auf dem Hradschin in Prag anzuschließen, und wurde Hauslehrer dessen Enkels Heinrich, des Herzogs von Bordeaux. Cauchy wurde aufgrund seiner wissenschaftlichen Meriten und seiner Nähe zu den Jesuiten ausgewählt, den Prinzen in Mathematik und den Naturwissenschaften, insbesondere Chemie und Physik, zu unterrichten. Der Prinz jedoch zeigte keinerlei Interesse oder Begabung für Mathematik und er verstand von dem, was Cauchy ihm erzählte, herzlich wenig. Bis zu seinem 18. Lebensjahr, als seine Ausbildung beendet wurde, entwickelte er eine ausgiebige Abneigung gegen Mathematik. Cauchy zeigte als Lehrer keinerlei Autorität, und der verwöhnte Bourbonenprinz tanzte ihm nach Belieben auf der Nase rum und trieb derbe Späße mit ihm.

        800 Artikel und diverse Bücher

        Karl X. belohnte ihn für seine Dienste mit dem Titel eines Barons, auf den Cauchy ab da viel Wert legte. Aufgrund der schlechten Gesundheit seiner Mutter, die dann auch 1839 starb, kehrte er wieder nach Paris zurück. Cauchy war nun in der schwierigen Situation, dass er wegen seiner Weigerung, den Treueid auf den König zu schwören, keine Professur mehr innehatte. Zwar war er weiterhin Mitglied der Académie des Sciences und konnte so am wissenschaftlichen Leben teilhaben und publizieren, allerdings konnte er sich auf keine neue Stelle bewerben. Eine Ausnahme war das Bureau des Longitudes, in dem der Treueid nicht so eng gesehen wurde, weswegen er sich entschloss, sich dort auf eine freiwerdende Stelle zu bewerben. Cauchy setzte sich auch Ende 1839 durch, allerdings stellte sich die Regierung quer: ohne Eid keine formelle Einstellung. Die nächsten vier Jahre wurde dies am Bureau geflissentlich ignoriert. Cauchy war nun also wieder Professor, allerdings ohne Salär.

        Damit begann eine seiner schaffensreichsten Perioden. In Prag hatte Cauchy so gut wie nichts veröffentlicht, allerdings über vieles nachgedacht, und die reifen Ideen brachte er jetzt zu Papier. Zwischen 1839 und Februar 1848 veröffentlichte er über 300 Artikel. Rechnet man ein, dass er 1844 nicht forschte, so bleibt fast ein Artikel die Woche, eine unglaubliche Schaffensgeschwindigkeit. Sein Gesamtwerk umfasst 789 Arbeiten und zahlreiche Bücher.

        Die Februarrevolution brachte nicht, wie von Cauchy erhofft, seinen ehemaligen Schüler Henri auf den Thron, sondern Napoléon III. Auch diesem wollte Cauchy keinen Treueid schwören. Die neue Regierung machte aber für Frankreichs größten Mathematiker eine Ausnahme. So erhielt er 1849 eine Professur. 
        Im Gegensatz zu vielen seiner Vorgänger, die ihre Anregungen aus der praktischen Anwendung der Mathematik empfingen, entwickelte Cauchy seine Theorien um ihrer selbst willen, ohne zu fragen, ob das von ihm Erdachte anwendbar war, und sei es auch, nur auf andere Gebiete der Mathematik. Er drang tiefer ein, sah die Verfahren und die Gesetze ihrer Zusammenhänge hinter den algebraischen Formeln, isolierte sie und gelangte so zur Gruppentheorie. Heute ist diese elementare und dennoch verwickelte Theorie in vielen Gebieten der reinen und der angewandten Mathematik von grundlegender Bedeutung, von der Theorie algebraischer Gleichungen bis zur rechnerischen Darstellung des Atomaufbaus. Sie liegt auch der Geometrie der Kristalle zugrunde, um nur eines ihrer Anwendungsgebiete zu nennen. Ihre späteren Weiterentwicklungen reichen weit in die höhere Mechanik und in die moderne Theorie der Differentialgleichungen hinein.

        Augustin Louis Cauchy starb 1857 in Sceaux bei Paris im Kreis seiner Familie.

        "[...] Ich bemühte mich, den Methoden (der Analysis) die ganze Strenge zu geben, die in der Geometrie verlangt wird, indem ich mich nie auf die Gründe verließ, die sich aus der Allgemeinheit der Algebra ergeben. […] Auch ist zu beachten, dass man dazu neigt, algebraischen Formeln unbeschränkte Gültigkeit beizumessen, während in Wirklichkeit die Mehrzahl dieser Formeln nur unter gewissen Bedingungen und für gewisse Werte der in ihnen vorkommenden Größen gelten. [...]"

        Weiterführende Literaturhinweise:

        • Bell, E. T. (1986): Men of Mathematics, New York 1986.
        • Belhoste, B. (1991): Augustin-Louis Cauchy. A biography, New York 1991.
        • Gottwald, S./Ilgauds, H.-J./Schlote, K. H. (2006): Lexikon bedeutender Mathematiker, Frankfurt/M. 2006.
        • Romeike, F. (2007): Pierre-Simon (Marquise de) Laplace (Köpfe der Risk-Community), in: RISIKO MANAGER, Ausgabe 3/2007, Seite 20.
        • Romeike, F. (2007): Augustin Louis Cauchy (Köpfe der Risk-Community), in: RISIKOMANAGER, Ausgabe 24/2007, Seite 16-17.
        • Romeike, F./Hager, P. (2013): Erfolgsfaktor Risk Management 3.0 – Methoden, Beispiele, Checklisten: Praxishandbuch für Industrie und Handel, 3. Auflage, Wiesbaden 2013.
        • Spalt, Detlef D. (1996): Die Vernunft im Cauchy-Mythos, Frankfurt/M. 1996.
        • Pierre de Fermat, (Mit-)entwickler der Wahrscheinlichkeitsrechnung

          Pierre de Fermat (* Ende 1607 oder Anfang 1608 in Beaumont-de-Lomagne; † 12. Januar 1665 in Castres) war ein französischer Mathematiker und Jurist sowie (Mit-)entwickler der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Das mit Abstand wichtigste Instrument des modernen Risikomanagements ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Eine der ersten Universalgelehrten, die über den Tellerrand der Spieltische hinausschauten und die methodischen und theoretischen Grundlagen der Wahrscheinlichskeitstheorie formulierten, waren die drei Franzosen Blaise Pascal, Antoine Gombaud und Pierre de Fermat.

          Pierre de Fermat (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, Tarn-et-Garonne; † 12. Januar 1665 in Castres)

          Pierre de Fermat (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, Tarn-et-Garonne; † 12. Januar 1665 in Castres)

          Pierre de Fermat wurde zum Jahreswechsel 1607/08 in der südwestfranzösischen Stadt Beaumont de Lomagne geboren. Nach der Schulzeit studierte Fermat – auf Drängen seines Vaters – in den Jahren 1623 bis 1626 Zivilrecht an der Universität Orléans. Im Sommer 1626 schloss er das Studium mit dem "baccalaureus juris civilis" ab und ließ sich als Anwalt am "parlement de Bordeaux" nieder. Schließlich kaufte er das Amt eines "conseiller au parlement de Toulouse" und wurde am 14. Mai 1631 in diesem Amt vereidigt.

          Vom Glücksspiel zur Wahrscheinlichkeitsrechung 

          Fermat galt als ein Mensch mit einer geradezu erschreckenden Gelehrsamkeit. So sprach er alle wichtigen europäischen Sprachen, schrieb Gedichte in mehreren Sprachen und verfasste zahlreiche Kommentare zu Werken der griechischen und lateinischen Literatur. Er hat als Universalgelehrter wesentlich zur frühen Entwicklung der Integralrechnung beigetragen, im Alleingang die analytische Geometrie entwickelt, Forschungen zur Messung des Gewichts der Erde betrieben und im Bereich Lichtbrechung und Optik gearbeitet.

          In seiner Freizeit widmete sich Fermat vor allem der Mathematik, insbesondere der algebraischen Zahlentheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Im Laufe seiner umfangreichen Korrespondenz mit Pascal hat er wesentliche Impulse zur Entstehung der Wahrscheinlichkeitsrechnung geleistet. Insbesondere die Lösung des "Teilungsproblems", an der Fermat und Pascal arbeiteten, bildet einen Eckstein des modernen Versicherungswesens und anderer Bereiche des Risikomanagements.

          Blaise Pascal, beschrieb am 29. Juli 1654 in einem Brief an seinen Kollegen de Fermat zwei Probleme, die er bereits mit seinem Freund Chevalier de Méré, diskutiert hatte (seither als De-Méré- oder Würfelproblem und Teilungsproblem (problème de partis) bekannt).

          Das Teilungsproblem behandelt ein fiktives Spiel (beispielsweise einen Münzwurf) über mehrere Runden. Der Ausgang des Spieles ist in jeder Runde unabhängig vom Ausgang in den anderen Runden und in jeder Runde gewinnt Spieler A mit Wahrscheinlichkeit p ∈ [0,1]. Die Spieler vereinbaren, dieses Spiel über so viele Runden zu spielen, bis einer der beiden Spieler n mal gewonnen hat. Dieser erhält dann den Gewinn S ausbezahlt. Bei einem Spielstand von N−k gewonnen Spiele für A und N−l gewonnen Spiele für B müssen die beiden Spieler jedoch das Spiel abbrechen. Wie wird der Gewinn S gerecht unter den Spielern aufgeteilt? Pierre de Fermat in einem Antwortschreiben: "Mein Herr, wenn ich versuche, eine bestimmte Augenzahl mit einem einzigen Würfel in acht Würfen zu erreichen [das heißt beispielsweise eine Sechs spätestens im achten Wurf], und wir, nachdem das Geld eingesetzt ist, übereinkommen, dass ich den ersten Wurf nicht ausführen werde, dann steht mir nach meinem Prinzip 1/6 des Gesamteinsatzes als Entschädigung zu auf Grund des besagten ersten Wurfes. Wenn wir danach noch übereinkommen, dass ich den zweiten Wurf nicht ausführen werde, muss ich zu meiner Entschädigung ein Sechstel des Restes [des Einsatzes] nehmen, das sind 5/36 [nämlich 1/6 von 5/6] des Gesamteinsatzes [...]"

          Pascal und Fermat näherten sich der Lösung von verschiedenen Standpunkten. Fermat konzentrierte sich vor allem auf die reine Algebra. Pascal hingegen nutze eine geometrische Anordnung, um in die zugrundeliegende algebraische Struktur Transparenz zu bringen. So griff Pascal auf das "Pascalsche Dreieck" zurück, das die rekursive Bestimmung der Binomialkoeffizienten gestattet. Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass ein Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist. Der Name geht auf Blaise Pascal zurück, obgleich das Pascalsche Dreieck bereits im Jahr 1303 im Manuskript des chinesischen Mathematikers Chu Shih-chieh abgebildet wurde.
          Experten interpretieren den Briefwechsel als Epochenereignis in der Geschichte der Mathematik und Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. als Geburtsstunde der Stochastik.

          Fermats Letzter Satz

          Der große fermatsche Satz (Fermats letzter Satz bzw. Fermats letztes Theorem) wurde um das Jahr 1637 von Pierre de Fermat formuliert, aber erst viele Jahre später, im Jahr 1993 bzw. 1998, von dem britischen Wissenschaftler Andrew Wiles zusammen mit seinem Schüler Richard Taylor bewiesen.

          Fermats Letzter Satz besagt, dass die n-te Potenz einer Zahl, wenn n > 2 ist, nicht in die Summe zweier Potenzen des gleichen Grades zerlegt werden kann. In diesem Kontext sind ganze Zahlen ≠ 0 und natürliche Potenzen gemeint. Formaler gesagt bedeutet dies:

          Die Gleichung an + bn = cn besitzt für ganzzahlige a, b, c ≠ 0 und natürliche Zahlen n > 2 keine Lösungen. Oder anders formuliert: Ist es möglich, dass eine Summe von zwei n-Potenzzahlen wieder eine n-Potenzzahl ist?

          In diesem Kontext ist die Forderung wichtig, dass die gesuchten Lösungen a, b, c ganze, positive Zahlen sein sollen. Verzichtet man auf die Ganzzahligkeit und wählt man a, b als beliebige positive Zahlen, so erhält man offenbar stets eine Lösung indem man Formel setzt.

          Seilspanner und ihre mathematische Ableitung

          Die Gleichung an + bn = cn  für n = 2 kennt jeder Schüler im Zusammenhang mit einem der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie, dem Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c gilt obige Gleichung (wobei a und b die beiden Katheten sind und c die Hypothenuse). 

          Bzw. umgekehrt: Aus obiger Gleichung folgt, wenn a, b, c > 0 angenommen wird, dass a, b, b die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind. Der nach Pythagoras von Samos benannte Satz ist theoretischer Ausdruck für die von ägyptischen, babylonischen und indischen Baumeistern und Priestern entwickelte Fähigkeit, bei Abmessungen von Feldern und Bauten mit Hilfe von Seilen präzise rechte Winkel zu erzielen. So erzielten die ägyptischen Seilspanner mit Hilfe von Zwölfknotenschnüren genaue rechte Winkel, indem sie 12 gleiche Teile eines langen Seils durch Knoten im Verhältnis 5:3:4 unterteilten und aus dem Seil mit Hilfe von Pflöcken ein Dreieck bildeten: es muss und wird sich auf diese Weise immer ein rechter Winkel ergeben (Pythagoreisches Tripel).

          Die Frage lautet also: Gibt es rechtwinklige Dreiecke, deren Seitenlängen a, b, c ganzzahlig sind? Wir erkennen an den nachfolgenden Beispielen, dass es in der Tat rechtwinklige Dreiecke gibt, bei denen die Seitenlängen ganzzahlig sind.

          32 + 42 = 52

          82 + 62 = 102

          52 + 122 = 132

          152 + 82 = 172

          49612 + 64802 = 81612

          Die zu beantwortende Frage ist nun, ob sich alle ganzzahligen, positiven Lösungen der pythagoräschen Gleichung (siehe oben) eine Systematik finden lässt? Hier hilft die Lektüre eines Buches des griechischen Mathematikers Diophantos von Alexandrien, der irgendwann im Zeitraum von 100 vor Chr. und 350 nach Chr. gelebt hat.

          Titelbild der 1621 verlegten Arithmetika
          Titelbild der 1621 verlegten Arithmetika

          Diophants Werk "Arithmetika" (siehe Abbildung oben) bestand aus insgesamt 13 Büchern, war jedoch lange Zeit verschollen und tauchte erst im 16. Jahrhundert in Europa wieder auf. Im sechsten Buch fand Pierre de Fermat die Lösung der pythagoräischen Gleichung:

          Man nehme zwei ganze Zahlen u > v > 0 und setze

          a = u2 − v2

          b = 2uv

          c = u2 + v2

          Berühmt wurde das Theorem (heute bekannt als Fermatsche Vermutung bzw. Großer Fermatscher Satz) dadurch, dass Fermat in einer Randnotiz seines Exemplars der Arithmetica behauptete, dafür einen "wahrhaft wunderbaren" Beweis gefunden zu haben, für den aber "auf dem Rand nicht genug Platz" sei. Die Randbemerkung findet sich exakt an der Stelle, an der Diophant den Fall n = 2 diskutiert.

          Mit anderen Worten: Fermat stellte sich die offensichtliche Frage, was aus der  pythagoräischen Gleichung (siehe oben) wird, wenn man den Exponenten 2 durch 3 oder durch irgendeine natürliche Zahl n > 2 ersetzt. Besitzt die entstehende Gleichung ebenfalls ganzzahlige, positive Lösungen?

          Fermat fand nun heraus, dass für n > 2 ganz andere Verhältnisse herrschen als für n = 2. Denn die Randnotiz von Fermat lautete wie folgt:

          "Cubum autem in duos cubos aut quadrato quadratum in duos quadrato quadratos et generaliter nullam in infinitum quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."

          [Deutsche Übersetzung: Es ist nicht möglich, einen Kubus in zwei Kuben oder ein Biquadrat in zwei Biquadrate und allgemein eine Potenz, höher als die zweite, in zwei Potenzen mit demselben Exponenten zu zerlegen. Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis, doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.]

          Mehr als 350 Jahre knobelten Mathematiker an diesem Problem. Selbst Größen wie Gauß oder Euler bissen sich die Zähne aus (siehe unten).

          Der britische Wissenschaftler Andrew Wiles bewies im Jahr 1993 bzw. 1998 (die Beweisführung war im Jahr 1993 noch lückenhaft) endgültig den letzten Satz von Fermat. Demzufolge gibt es keine Zahl n, die die Gleichung an + bn = cn erfüllt. 

          Die Schlüsselidee zum Beweis stammt von dem deutschen Mathematiker Gerhard Frey. Im  Jahr 1986 fand in Paris eine internationale Mathematiker-Tagung statt. Dabei stellte Frey seine Ideen über den Zusammenhang zwischen dem Fermat-Problem und der Taniyama-Vermutung vor. Die Zahlentheoretiker waren beeindruckt. Plötzlich erhob sich einer der Teilnehmer und erklärte, dies sei wohl der richtige Weg zum Beweis der Fermat-Vermutung. Der Name dieses Teilnehmers war Andrew Wiles. Nach der Tagung in Paris arbeitete Wiles sieben Jahre lang intensiv an der Lösung der Fermatschen Vermutung. Mit Hilfe der Iwasawa-Theorie und der Kolywagin-Flach-Methode gelang es schließlich Wiles, die Fermatsche Vermutung zu beweisen.

          Unter Mathematikern gilt der Beweis von Andrew Wiles als einer der bedeutendsten des 20. Jahrhunderts. Heute nimmt man an, dass sich Fermat geirrt hat und er wohl später bemerkt hat, dass sein "wunderbarer Beweis" nicht stichhaltig war, versäumte es jedoch, seine Randbemerkung entsprechend zu korrigieren. Dafür spricht, dass Fermat in späteren Briefen dieses Problem nur in den Fällen n = 3 und n = 4 erwähnt. 

          Exkurs: Die Suche nach dem Beweis

          Paul Friedrich Wolfskehl (* 30. Juni 1856 in Darmstadt; † 13. September 1906 in Darmstadt) war Arzt und litt an Multiples Sklerose und konnte daher seinen Beruf nicht ausüben. Daher entschloss er sich Mathematik zu studieren. So studierte er einige Jahre bei Ernst Eduard Kummer (siehe unten) in Berlin und begegnete dort das erste Mal Fermats letztem Theorem. Offenbar war er von dem mathematischen Rätsel so fasziniert, dass er in seinem Testament die – für damalige Zeiten beachtliche Summe – von 100.000 Goldmark  für die Person stiftete, der das Fermat-Problem vollständig lösen würde.

          Eine andere Legende erzählt, dass seine Liebe zu einer Frau von dieser nicht erwidert wurde, so dass er den Entschluss fasste, sein Leben zu beenden. Der Zeitpunkt seines Freitodes setzte er auf Mitternacht fest und vertrieb sich die Zeit bis dorthin mit dem Fermat-Problem. Die Legende berichtet weiter, dass er bei dieser Arbeit derart gefesselt war, dass er über ihr die Zeit vergaß. Wolfskehl überlebte wohl aus diesem Grund die Nacht und ließ von seinen Selbstmordgedanken ab. Gleich darauf änderte er aus Dank sein Testament. 

          Nach der Satzung der Stiftung sollte die Summe von der Göttinger Akademie der Wissenschaften verwaltet werden, die auch die Richtigkeit der eingegangenen Lösungen zu prüfen hatte. Nach Ablauf von etwa 100 Jahren (Einsendeschluss: 23. September 2007) sollten die 100.000 Goldmark an die Akademie fallen, wenn sich bis zu diesem Zeitpunkt niemand mit einer richtigen Lösung gemeldet hatte. Im Jahr 1997 wurde der Preis an Andrew Wiles ausbezahlt. 

          Beweis(-versuche) der Fermatschen Vermutung

          Pierre de Fermat (1607/08–1665) 

          1637: Problemstellung, Beweis für n = 4, und später andeutungsweise für n = 3.

          Leonhard Euler (1707–1783) 

          n = 3, Beweis unvollständig

          Johann Carl Friedrich Gauß (1777–1855) 

          n = 3: vollständiger Beweis

          Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) 

          n = 5: Dirichlets Beweis war zunächst unvollständig; nach Kritik durch Legendre gab er einen Ansatz zur Vervollständigung; dieser wurde 1828 in Crelles Journal ausführlich publiziert

          Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 

          n = 14: 1832 in Crelles Journal

          Gabriel Lamé (1795–1870) 

          n = 7: 1839 in Liouvilles Journal

          Gabriel Lamé 

          beliebig: 1841 in Liouvilles Journal (Beweis erschien unvollständig; Kritik durch Liouville)

          Ernst Eduard Kummer (1810–1893) 

          1844 in der Festschrift für das Königsberger Universitätsjubiläum: Die Lücke im Beweis bei Lamé kann nicht geschlossen werden! Der Beweisversuch von Lamé ist also endgültig als falsch zu bewerten. Kummers monumentales Theorem: 1850 in Crelles Journal: Beweis für alle Primzahlexponenten n = p, bei denen p eine sogenannte "reguläre" Primzahl ist. 

          Andrew Wiles (* 1953) 

          Im Jahr 1994 gelang es dem britischen Mathematiker Andrew Wiles zusammen mit seinem Schüler Richard Taylor, die Fermatsche Vermutung zu beweisen. Die Zahlentheoretiker gerieten in Aufruhr, denn mit Fermat war auch eine von dem Japaner Yutaka Taniyama 1954 veröffentlichte Strukturbeschreibung elliptischer Kurven bestätigt. Der Beweis der Taniyama-Vermutung ist die große Leistung Andrew Wiles, aber die Verknüpfung zweier durch 350 Jahre getrennter Theorien ist die große Leistung von Gerhard Frey.

          Download:

          Weiterführende Literaturhinweise:

          • Barner, K. (2001): How old did Fermat become?, in: Das Leben Fermats, Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Heft 3, 9(2001), Berlin, S. 209–228.
          • Renyi, A. (1972): Briefe über die Wahrscheinlichkeit, Berlin 1972.
          • Roquette, Peter (1998): Zum Fermat-Problem, Vortrag im Mathematischen Institut der Universität Heidelberg am 24.1.1998.
          • Singh, S. (2000): Fermats letzter Satz, München 2000.
          • Wiles, A. (1995): Modular Elliptic Curves and Fermat's last theorem. Annals of Mathematics 141 (1995), 443–551
          • Hammurabi, 5. König der ersten Dynastie von Babylon

            Die ersten Ansätze einer rudimentären Versicherung bzw. der ersten Risikoportfolien konnte man bereits im Altertum, insbesondere in Griechenland, Kleinasien und Rom finden. So schlossen sich bereits etwa um 3000 v. Chr. phönizische Händler zu Schutzgemeinschaften zusammen und ersetzten ihren Mitgliedern verloren gegangene Schiffsladungen.

            Hammurabi, erste Ansätze einer Risikosteuerung

            Hammurabi (1728 bis 1686 v. Chr., nach anderer Chronologie 1792 bis 1750 v. Chr.)

            Hammurabi (1728 bis 1686 v. Chr., nach anderer Chronologie 1792 bis 1750 v. Chr.)

            Ein Gesetzbuch des babylonischen Königs Hammurabi (1728 bis 1686 v. Chr., nach anderer Chronologie 1792 bis 1750 v. Chr.), der Codex Hammurabi, enthielt einen Prolog, der 282 Gesetzesparagraphen und den Epilog auf einer etwa 2,25 m hohen Stele aus Diorit festgehalten hat. Diese Stele wurde 1902 bei Ausgrabungen in Susa, der Hauptstadt des Reiches Elam, gefunden. Ihr ursprünglicher Standort ist unbekannt. Historiker gehen jedoch davon aus, dass sie vermutlich von einem Eroberer aus einer babylonischen Stadt geraubt wurde. Heute befindet sich die Stele von Susa in der früheren französischen Königsresidenz Louvre in Paris. Hammurabi schuf in seinem Reich sozialstaatliche Ansätze, die mit Eigenvorsorgeeinrichtungen kombiniert wurden.





            Hammurabi SteleHammurabi kodifizierte das Straf-, Zivil- und Handelsrecht. So heißt es beispielsweise in dem Text: „Wenn ein Bürger das Auge eines anderen Bürgers zerstört, so soll man ihm ein Auge zerstören. Wenn er einen Knochen eines Bürgers bricht, so soll man ihm einen Knochen brechen. (...) Wenn ein Bürger einen ihm ebenbürtigen Bürger einen Zahn ausschlägt, so soll man ihm einen Zahn ausschlagen. Wenn er einem Palasthörigen einen Zahn ausschlägt, so soll er ein Drittel Mine Silber zahlen.“ Unter gesellschaftlich gleichstehenden Personen galt in Babylonien ein Talionsrecht: Gleiches wird mit Gleichem vergolten, die Strafe entspricht der Tat. "[...] So sollen die Teilnehmer einer Karawane sich vertraglich verpflichten, dass der dem einzelnen, während der Reise durch Raub oder Überfall entstandene, Schaden gemeinsam getragen werde. [...]"

            Bei gesellschaftlich tiefer stehenden Personen wird eine Kompensation durch Zahlung ermöglicht. Der Kodex des Hammurabi enthielt außerdem 282 Paragraphen zum Thema "Bodmerei". Bodmerei war ein Darlehensvertrag bzw. eine Hypothek, die von dem Kapitän bzw. Schiffseigentümer zur Finanzierung einer Seereise aufgenommen wurde. Ging das Schiff verloren, so musste das Darlehen nicht zurückgezahlt werden. Somit handelte es sich bei Bodmerei um eine Frühform der Seeversicherung.

            Insbesondere in Griechenland und Ägypten halfen kultbezogene Vereine ihren Mitgliedern bei Krankheit und sorgten für ein würdiges Begräbnis. Dies war auch die Grundlage für die Gründung erster Sterbekassen. Die Mitglieder einer solchen Sterbekasse hatten Anspruch auf ein würdiges Begräbnis, auf das Schmücken des Grabes und kultische Mahlzeiten, die die überlebenden Mitglieder einnahmen. Deshalb wurden die Mitglieder auch "sodales ex symposio" (Mitglieder an der gemeinsamen Essenstafel) genannt. Andere Sterbekassen (etwa in Rom) versprachen ihren Mitgliedern einen Urnenplatz in unterirdischen Gewölben (Columbaria). Die Mitglieder zahlten eine Grundgebühr sowie einen regelmäßigen jährlichen Beitrag. Erst dann bekam man Anrecht auf einen Platz in der Gewölbeanlage, die durch die Beiträge finanziert, gepflegt und verwaltet wurde.

            Weiterführende Literaturhinweise:

            • Klengel, Horst (1994): König Hammurapi und der Alltag Babylons, Artemis; Winkler Düsseldorf 1994.
            • omeike, F./Hager, P. (2013): Erfolgsfaktor Risk Management 3.0 – Methoden, Beispiele, Checklisten: Praxishandbuch für Industrie und Handel, 3. Auflage, Wiesbaden 2013.
            • van de Mieroop, Marc (2005): King Hammurabi of Babylon, a Biography, Blackwell Publishing Limited, Oxford 2005.
            • Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow, lieferte eine Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie

              Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow, auch Andrej Nikolaevič Kolmogorov (* 25. April 1903 nach dem gregorianischen Kalender in Tambov/Russland; † 20. Oktober 1987 in Moskau/Russland) war einer der bedeutendsten und vielseitigsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Kolmogorow leistete wesentliche Beiträge auf vielen mathematischen Gebieten, insbesondere im Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er gilt als der Gründer der Algorithmischen Komplexitätstheorie (auch Kolmogorow-Komplexität genannt; hierbei versteht man anschaulich die Länge eines kürzesten binären Programms, aus dem sich die Zeichenkette effektiv rekonstruieren lässt).


              Andrej Nikolaevič Kolmogorov (* 12. April 1903 nach dem julianischen Kalenders, * 25. April 1903 nach dem gregorianischen Kalender in Tambov/Russland; † 20. Oktober 1987 in Moskau/Russland)
              Andrej Nikolaevič Kolmogorov (* 12. April 1903 nach dem julianischen Kalenders, * 25. April 1903 nach dem gregorianischen Kalender in Tambov/Russland; † 20. Oktober 1987 in Moskau/Russland)

              Die wissenschaftlichen Leistungen von Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow lassen sich in seinen mehr als 300 wissenschaftlichen Veröffentlichungen, Herausgebertexten und Monographien erahnen. Kolmogorow war in fast allen mathematischen Gebieten unterwegs, bis auf die Zahlentheorie. Die meiste Zeit verbrachte Kolmogorow mit dem Ziel, den Mathematikunterricht in der vormaligen Sowjetrepublik zu verbessern, begabte Schüler zu fördern und spezialisierte Internate für den mathematischen Nachwuchs aufzubauen.

              Seine bekanntesten mathematischen Leistungen waren die Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie und seine Arbeiten zur Theorie stochastischer Prozesse, die er Anfang der 30er Jahre geschrieben hat. Weitere wichtige Beiträge betrafen die Theorie der reellen Funktionen, die Topologie, die Statistik und die Maßtheorie. Im Jahr 1941 veröffentlichte er zwei einflussreiche Arbeiten zur Theorie der Turbulenzen, die unter anderem die moderne Chaostheorie vorbereiteten. 

              Am 25. April 1903 wurde Kolmogorow in Tambov, einer russischen Stadt im fruchtbaren Oka-Don-Becken, rund 420 km südöstlich von Moskau, geboren. Seine Mutter Mariya Yakovlevna Kolmogorowa starb bei seiner Geburt und sein Vater verließ ihn, so dass er von der Schwester seiner Mutter, Vera Yakovlevna Kolmogorowa, großgezogen wird. Sie wird als unabhängige Frau beschrieben, die hohe soziale Ideale verfolgt. Diese Eigenschaft überträgt sie auch auf ihren Neffen Andrei Nikolajewitsch, der in einem Umfeld von sozialer Verantwortlichkeit, Eigenständigkeit, Intoleranz gegenüber Trägkeit und Faulheit aufwächst und die Fähigkeit erlangt, Dingen auf den Grund zu gehen und sie zu verstehen und sie nicht nur abzuspeichern.

              Für Kolmogorow war Vera bis zu ihrem Tod im Jahr 1950 im Alter von 87 Jahren seine Mutter. Nach der Schulzeit und dem Umzug nach Moskau schrieb Kolmogorow sich in die Matrikel der Physikalisch-mathematischen Fakultät der Universität Moskau ein. Hier lehrten Dmitri Fjodorowitsch Jegorow (1869-1931) und sein bedeutendster Schüler Nikolai Nikolajewitsch Lusin (1883-1950), welche die berühmte Moskauer Schule der Theorie reeller Funktionen begründet hatten. Während der ersten beiden Studienjahre hörte Kolmogoroff Vorlesungen bei Lusin zur Theorie analytischer Funktionen, bei Alexej Konstantinowitsch Wlassow (1868-1922) über projektive Geometrie und bei Pawel Samuelowitsch Uryson (1898-1924) sowie bei Pawel Sergejewitsch Alexandrow (1896-1982) über kombinatorische Topologie und deskriptive Mengenlehre. Mit letzterem verband Kolmogoroff seit dem Jahr 1929 eine enge Freundschaft, die auf einer gemeinsamen mehrwöchigen Reise auf der Wolga und durch den Kaukasus begann und ein ganzes Leben lang währte.

              Produktive Lehr- und Wanderjahre

              Die Lehr- und Wanderjahres des jungen Wissenschaftlers in den Zwanzigern sind besonders produktive Jahre. Im Jahr 1922 veröffentlichte Kolmogorow seine ersten Ergebnisse in der Mengentheorie. Im Jahr 1923 folgten Veröffentlichungn in der Fourieranalysis (Zerlegen eines beliebigen periodischen Signals in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen). In der Folge erlangt er internationale Bekanntheit und veröffentlicht acht Arbeiten über Integrationstheorie, Fourieranalyse sowie erstmals über Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach seinem Studienabschluss im Jahr 1925 beginnt er seine ("kleine") Promotion bei Nikolai N. Lusin, die er 1929 beendet.

              Im Juni 1930 begab sich Kolmogorow auf eine neunmonatige Forschungsreise nach Deutschland und Frankreich. In Göttingen legte Kolmogorow seine Arbeit "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung" dem deutschen Mathematiker David Hilbert (1862-1943) vor, der sie im Jahr 1931 in den Annalen publizierte. In München diskutierte er mit Constantin Carathéodory über Maß- und Integrationstheorie. In Sanary-sur-Mer trafen sie den französischen Mathematiker Maurice René Fréchet, der sich gerade mit Markowschen Ketten in diskreter Zeit beschäftigte. Schließlich besuchte Kolmogorow Anfang März in Berlin den österreichischen Mathematiker Richard Edler von Mises. 

              Im Jahr 1931 wird er als ordentlicher Professor an die Universität Moskau berufen. Im Jahr 1933 erscheint Kolmogorows Lehrbuch "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" in deutscher Sprache, in dem er seine Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorievorstellt. Kolmogorow schreibt im Vorwort seines Werkes "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung", dass die "neuen Fragestellungen", die durch ein  maßtheoretisches Konzept der Wahrscheinlichkeitsrechnung erfasst werden können und diese zu einer Wahrscheinlichkeitstheorie erst machen "notwendigerweise aus einigem ganz konkreten physikalischen Fragestellungen entstanden sind." In einer Fußnote verweist er auf die Brownsche Bewegung und damit implizit auf Einstein, Smoluchowski und Wiener.  Insgesamt jedoch konzentrieren sich Kolmogorows Quellen zu den "analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung" im Wesentlichen auf die Arbeit von Bachelier.

              Im Jahr 1934 veröffentlicht Kolmogorow seine Arbeit über Kohomologie (ein Begriff aus der Topologie) und erreicht über die "große" Promotion den Doktorgrad in Mathematik und Physik. 1939 wird er Mitglied der russischen Akademie der Wissenschaften, später auch Mitglied zahlreicher ähnlicher Institutionen in Rumänien, England, Deutschland, USA, Indien, Holland und Frankreich. 

              Bekannt ist Kolmogorow vor allem durch das Kolmogorowsche Axiomensystem. Die axiomatische Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs nach Kolmogorow gehört heute zum Allgemeingut auch jeden Nicht-Mathematikers und hat auch hohe Relevanz im Risikomanagement:

              Kolmogorow’sches Axiomensystem [Quelle: Romeike, Frank (2007): Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (Köpfe der Risk-Community), in: RISIKO MANAGER, Ausgabe 22/2007, Seite 27-28]
              Kolmogorow’sches Axiomensystem

              Weiterführende Literaturhinweise:

              • Girlich, H.-J. (2003): A. N. Kolmogoroff (1903-1987) und die Ursprünge der Theorie stochastischer Prozesse, Universität Leipzig, Mathematisches Institut.
              • Kolmogorov, A. N. (1973): Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin, Heidelberg, New York, 1973.
              • Tikhomirov, M. V. (1993): A. N. Kolmogorov, in: S. Zdravkovska and P. A. Duren (eds.), Golden Years of Moscow Mathematics (Providence R.I., 1993), 101-127. 
              • Tikhomirov, M. V. (1988): The life and work of Andreii Nikolaevich Kolmogorov, Russian Math. Surveys 43 (6) (1988), 1-39.
              • Pierre-Simon (Marquis de) Laplace, (Mit-) Entwickler der Wahrscheinlichkeitsrechnung

                Ähnlich wie Demokrit schrieb mehr als 2000 Jahre später der französische Mathematiker und Astronom Pierre Simon de Laplace (* 28. März 1749 in Beaumont-en-Auge in der Normandie; † 5. März 1827 in Paris), dass die Menschen "in Unkenntnis ihres Zusammenhanges mit dem Weltganzen" Ereignisse, die ohne sichtbare Ordnung eintreten, stets vom Zufall abhängen lassen.

                Pierre Simon de Laplace (* 28. März 1749 in Beaumont-en-Auge in der Normandie; † 5. März 1827 in Paris)
                Pierre Simon de Laplace (* 28. März 1749 in Beaumont-en-Auge in der Normandie; † 5. März 1827 in Paris)

                Die Theorie des Zufalls

                "Die Theorie des Zufalls (des hasards) besteht darin, alle Ereignisse derselben Art auf eine gewisse Anzahl gleich möglicher Fälle zurückzuführen, das heißt auf solche, über deren Existenz wir in gleicher Weise im Unklaren sind, und dann die Zahl der Fälle zu bestimmen, die dem Ereigniss, dessen Wahrscheinlichkeit man sucht, günstig sind. Das Verhältniss dieser Zahl zu der aller möglichen Fälle ist das Maass dieser Wahrscheinlichkeit, die also nur ein Bruch ist, dessen Zähler die Zahl der günstigen Fälle, und dessen Nenner die Zahl aller möglichen Fälle ist.", so Laplace in seinem im Jahr 1814 erschienenen Werk "Philosophischer Versuch über die Wahrscheinlichkeiten".

                "Der hier gegebene Begriff der Wahrscheinlichkeit setzt voraus, dass, wenn man die Zahl der günstigen Fälle und die aller möglichen Fälle in gleichem Verhältnis wachsen lässt, die Wahrscheinlichkeit dieselbe bleibt. Um sich davon zu überzeugen, stelle man sich zwei Urnen A und B vor, von denen die erste vier weisse und zwei schwarze Kugeln enthält, und die zweite nur zwei weisse und eine schwarze Kugel einschliesst. Nun denke man sich, dass die zwei schwarzen Kugeln der ersten Urne an einen Faden gebunden sind, der in dem Momente reisst, wo man die eine von ihnen ergreift, um sie herauszuziehen, und dass die vier weissen Kugeln zwei ähnliche Systeme bilden. Alle Chancen, welche bewirken, dass eine der Kugeln des schwarzen Systems ergriffen wird, werden eine schwarze Kugel herausbringen. Wenn man sich jetzt vorstellt, dass die Fäden, welche die Kugeln verbinden, nicht reissen, so ist klar, dass die Zahl aller möglichen Chancen sich ebenso wenig ändern wird als die dem Herausziehen schwarzer Kugeln günstigen Chancen; nur wird man aus der Urne zwei Kugeln auf einmal herausziehen; die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel aus der Urne herauszuziehen, wird also dieselbe sein wie früher. Aber dann hat man augenscheinlich den Fall der Urne B mit dem einzigen Unterschiede, dass die drei Kugeln dieser letzteren Urne ersetzt sind durch drei Systeme von je zwei Kugeln, die unveränderlich mit einander verbunden sind."

                Wie ein Virtuose beherrschte Laplace den Kalkül der Infinitesimalrechnung. So untersuchte er partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung auf ihre Lösungsmöglichkeit, ersann die Kaskadenmethode – ein Lösungsverfahren für hyperbolische Differentialgleichungen – und befasste sich mit partiellen Differenzengleichungen. Außerdem entwickelte Laplace eine Kapillartheorie für Flüssigkeiten, leitete eine Formel für die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls in der Luft ab und verbesserte die barometrische Höhenformel. 

                Innenminister bei Napoleon

                Im Jahr 1794 übernahm Laplace eine Professur für Mathematik an der École Polytechnique, der neu gegründeten technischen Hochschule in Paris. Wenige Jahre später, im Jahr 1799, berief ihn Napoleon zum Innenminister und später in den Senat. Mit dem Amt des Innenministers war er jedoch schnell überfordert und wurde nach nur sechs Wochen von  einem Bruder Napoleons abgelöst. Napoleon berief ihn – quasi zum Trost – in den Senat. Im Jahr 1803 wurde Laplace Vizepräsident des Senats und verdiente während dieser Zeit ein kleines Vermögen. Als Vorsitzender der Kommission für Maße und Gewichte hatte er außerdem wesentlichen Anteil an der Einführung eines einheitlichen dezimalen Maßsystems.

                Im Jahr 1806 – nachdem Laplace von Napoleon zum Grafen geadelt wurde – zog Laplace in der Pariser Vorort Arceuil und wurde Nachbar des Chemikers Bartholet. Gemeinsam mit im gründete er die Société d’Arceuil, in der die beiden mit anderen Wissenschaftlern, unter anderem auch mit dem Naturforscher und Entdecker Alexander von Humboldt, Experimente durchführten. 

                Im Jahr 1815 wurde Laplace von König Ludwig XVIII zum Pair von Frankreich und 1817 zum Marquis (Markgraf) ernannt. Im Jahr 1816 legte Laplace seine Arbeit an der Ecole Polytechnique nieder und wurde Mitglied der 40 Unsterblichen der Académie française. 

                Weiterführende Literaturhinweise:

                • de Laplace, P. S. (1886): Philosophischer Versuch über die Wahrscheinlichkeiten. Übersetzt von Norbert Schwaiger, Leipzig 1886.
                • Gottwald, S. u. a. (1990): Lexikon bedeutender Mathematiker. Bibliographisches Institut, Leipzig 1990.
                • Romeike, F./Müller-Reichart, M. (2004): Risiko-Management in Versicherungsunternehmen - Grundlagen, Methoden, Checklisten und Implementierung, Weinheim 2004.
                • Romeike, F. (2007): Pierre-Simon (Marquise de) Laplace (Köpfe der Risk-Community), in: RISIKO MANAGER, Ausgabe 3/2007, Seite 20.
                • von Mises, R. (1998): Philosophischer Versuch über die Wahrscheinlichkeit von Simon de Laplace, Frankfurt am Main 1998, S. 1-4.
                • Wussing, H., Arnold, W. (1985): Biographien bedeutender Mathematiker. Verlag Volk und Wissen, Berlin 1985.

                • Adrien-Marie Legendre, entdeckte die die Methode der kleinsten Quadrate

                  Adrien-Marie Legendre (* 18. September 1752 in Paris; † 10. Januar 1833 in Paris) war ein französischer Mathematiker und wurde bekannt für seine Arbeiten über die elliptischen Integrale und die Methoden der euklidischen Geometrie. Im Jahr 1806 entdeckte er, unabhängig von Carl Friedrich Gauß, die Methode der kleinsten Quadrate.

                  Adrien-Marie Legendre (* 18. September 1752 in Paris; † 10. Januar 1833 in Paris)
                  Adrien-Marie Legendre (* 18. September 1752 in Paris; † 10. Januar 1833 in Paris)

                  Als Sohn reicher Eltern wurde Adrien-Marie Legendre im Jahr 1752 in Paris geboren (andere Quellen behaupten aber auch, dass er in Toulouse geboren wurde). Daher erwarb Legendre eine exzellente Schulausbildung – u. a. am Collège Mazarin – und konnte im Alter von 18 Jahren sich auf seine Karriere als Wissenschaftler konzentrieren. Im Jahr 1782 beteiligte sich Legendre an einer Ausschreibung der Berliner Akademie, bei der es darum ging die Flugbahn von Kanonenkugeln bei Luftwiderstand zu untersuchen. Legendre gewann diese Ausschreibung und wurde in der "scientific community" mit einem Schlag bekannt. 

                  Der italienische Mathematiker und Astronom Joseph Louis Lagrange (* 25. Januar 1736 in Turin; † 10. April 1813 in Paris), der damalige Direktor der Preußischen Akademie der Wissenschaften in Berlin, wurde auf den jungen Legendre aufmerksam. Im Jahr 1783 übernahm Legendre schließlich den Assistenposten seines Freundes Pierre-Simon Laplace in der Pariser Académie des sciences. Im Jahr 1784 veröffentliche er seine Arbeit "Sur la figure des planetes", in der erstmals seine "Legendre-Polynome" erwähnte. Hierbei handelt es sich um spezielle reelle oder komplexe Polynome, die ein orthogonales Funktionensystem bilden. Insbesondere in der Elektrodynamik und in der Quantenmechanik spielen die nach Legendre benannten Polynome eine große Rolle. Des weiteren beschäftigte sich Legendre in dieser Zeit mit Arbeiten zur Zahlentheorie und Untersuchungen zur Theorie der elliptischen Funktionen. 

                  Im Jahr 1793 begann für Legendre eine schwierige Zeit, da die Academie des Science geschlossen wurde und er sein Vermögen und sein gesichertes Einkommen verlor. Zwei Jahre später – im Jahr 1795 – wurde die Académie des sciences unter dem neuen Namen "Institut National des Science et des Arts" wiedereröffnet. Während dieser Zeit veröffentlichte Legendre – basierend auf Euklids berühmten Grundsätzen der Geometrie – sein Buch "Elements de geometrie", daß für etwa 100 Jahre zum Standardwerk in diesem Gebiet werden sollte. So weist Legendre nach, das π irrational ist und er gibt den ersten Beweis dafür, daß auch π2 irrational ist. Außerdem beschäftigte sich Legendre während dieser Zeit mit der Erstellung von trigonometrischen und Logarithmentafeln (gemeinsam mit Gaspard de Prony). 

                  Im Jahr 1806 veröffentlichte er ein Buch über Kometenbewegungen. Dort beschreibt er auch die Methode der kleinsten Quadrate bzw. der kleinsten Fehlerquadrate. Heute wird die Entdeckung der Methode der kleinsten Quadrate primär Johann Carl Friedrich Gauß (* 30. 

                  April 1777 in Braunschweig; † 23. Februar 1855 in Göttingen) zugeschrieben, der seine Version aber erst im Jahr 1809 puplizierte. Gauß erwähnte die Arbeit von Legendre, sah die Urheberrechte doch bei sich selbst, was Legendre sehr erzürnte. Im Jahr 1825 gelang Legendre der Beweis des Großen Fermatschen Satzes für den Spezialfall n = 5.

                  Tragisch entwickelte sich jedoch vor allem die letzte Periode seines Lebens. Da er sich weigerte bei einer Wahl am Institut National den Kanditaten der Regierung seine Stimme zu geben, stellte die Regierung seine Pension ein. Legendre starb am 10. Januar 1833 verarmt in Paris.

                  Download:

                  Download Artikel (PDF)

                  Weiterführende Literaturhinweise:

                  • Legendre, A.-M. (1893): Zahlentheorie. Leipzig 1893.
                  • Reich, K. (2001): Im Umfeld der „Theoria motus“, Göttingen 2001.
                  • Paul Pierre Lévy, Wegbereiter von "stabilen Verteilungen"

                    Paul Pierre Lévy (* 15 . September 1886 in Paris, † 15 . Dezember 1971 in Paris) war ein französischer Mathematiker. Er hat ganz wesentlich die Wahrscheinlichkeitstheoriemitentwickelt und gilt als Wegbereiter von "stabilen Verteilungen". Daher werden stabile Verteilungen häufig als Lévy-stabile Verteilungen bezeichnet.


                    Paul Pierre Lévy (* 15. September 1886 in Paris, † 15. Dezember 1971 in Paris)
                    Paul Pierre Lévy (* 15. September 1886 in Paris, † 15. Dezember 1971 in Paris)

                    Paul Pierre Lévy stammte aus einer Familie jüdischer Händler und Akademiker. Sein Vater Lucien lehrte an der École Polytechnique, sein Großvater war Professor. Lévy schloss sein Studium an der École Polytechnique und der École des Mines ab. Im Jahr 1912 promovierte er mit einer Arbeit über Funktionalanalysis. Seine Lehrer waren bekannte Wissenschaftler wie u. a. Émile Picard, Henri Poincaré und Jacques Hadamard. Im Jahr 1913 wurde er Professor an der École des Mines und wechselte im Jahr 1920 an die École Polytechnique, an der er bis zum Jahr 1959 lehrte.

                    Paul Pierre Lévy war unter anderem Lehrer des Mathematikers Benoît B. Mandelbrot. "Für Studenten in den hinteren Reihen des Hörsaals – zu denen ich gehörte – war er fast nicht zu hören, und seine lange, graue und gepflegte Erscheinung ähnelte auf merkwürdige Artder etwas eigenwilligen Form, in der er das Symbol für ein Integral ∫ an die Tafel zeichnete", so Mandelbrot in seinem Buch "The (mis)behavior of Markets – A Fractal View of Risk, Ruin and Reward".

                    Erst mit seiner Anstellung an der École Polytechnique befasste sich Lévy intensiver mit Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik und gehörte bereits nach kurzer Zeit zu den größten Wahrscheinlichkeitstheoretikern. Gleichzeitig wurde er von seinen Mathematikerkollegen weitgehend ignoriert. Mandelbrot weist als Begründung darauf hin, dass Lévy bei schriftlichen Beweisen und wissenschaftlichen Veröffentlichungen eher nachlässig war, so dass sich in der Eile nicht selten Fehler einschlichen. Einige seiner ausgefallensten Ideen hat er hingegen nie veröffentlicht. Später wies er darauf hin, dass diese Erkenntnisse und Ideen zu offensichtlich waren, als das es sinnvoll gewesen wäre, diese zu publizieren.

                    Ein Besucher von einem anderen Planeten

                    Man gestattete Lévy eher widerwillig, dass er Vorlesungsreihen an der Universität von Paris halten durfte. Mandelbrot erinnert sich, dass er am Ende einer solchen Vorlesungsreihe sein einziger Hörer war. Erst im Alter von 87 Jahren wurde Lévy in die Akademie der Wissenschaften Frankreichs gewählt – eine späte Ehre für einen genialen Wissenschaftler. Der Mathematiker John von Neumann (auch János von Neumann zu Margitta, * 1903 in Budapest, † 8. Februar 1957 in Washington, DC) wird mit dem Satz zitiert, dass er Lévy als einen Besucher von einem anderen Planeten wahrgenommen hat. "Um zur Wahrheit zu gelangen, scheint er seine eigenen privaten Verfahren zu haben, die mir Unbehagen bereiten."

                    Kurz nach dem Zweiten Weltkrieg wurde Lévy gebeten, Vorlesungen über Zielfehler bei Schusswaffen zu halten. Wenig später veröffentlichte er – basierend auf seinen Analysen – erste Arbeiten zu "stabilen" Verteilungen. In diesem Zusammenhang bedeutet stabil, dass man ein solches Objekt (Wahrscheinlichkeitsverteilung) beispielsweise drehen, verkleinern oder etwas hinzufügen kann, wobei die Grundeigenschaften unverändert bleiben. Auch die Gaußsche Glockenkurve ist in diesem Sinne stabil. "Addiert man die Treffer des blinden Bogenschützens zu denen eines, sagen wir, blinden Gewehrschützens, genügen die beiden Datensätze gemeinsam nach wie vor Cauchys Formel (Anmerkung: Die Cauchy-Verteilung ist ein Spezialfall der Levy Verteilungen, μ=1). Auch sie ist stabil", so Mandelbrot.

                    Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, das heißt sie erfüllt die Bedingung X1+X2 ... +Xn ≈ n1/α X wobei X1+X2 ... + Xn, X unabhängige Standard-Lévy-Variablen sind (hier ist α = 1/2). 

                    Die Lévy-Verteilung besitzt weder einen endlichen Erwartungswert noch eine endliche Varianz, denn E(|X|)=∞. Die Lévy-Verteilung gehört daher zu den so genannten heavy-tailed distributions (auch fat oder long tail genannt), die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (etwa einen Börsencrash) zu modellieren.

                    Brownsche Bewegung als Grenzfall von Irrfahrten

                    Nehmen wir an, wir würden auf der Straße einen betrunkenen Mann beobachten: Er geht vielleicht drei Schritt nach links, drei Schritte nach rechts, vier Schritt rückwärts und zwei vorwärts. Einige Sekunden später geht er fünf Schritte nach rechts, drei vorwärts und einen rückwärts. Er bewegt sich sozusagen auf einem ziellosen, gezackten Pfad vor-, seit- und rückwärts. Ergebnis: Im Durchschnitt gelangt er nirgendwohin. Sein Spaziergang bleibt auf den Ausgangspunkt beschränkt. Eine ähnliche Beobachtung machte der schottische Botaniker Robert Brown im Jahr 1827 als er Pollen in einem Wassertropfen untersuchte. Unter dem Mikroskop erkannte er zuckende Bewegungen, die durch die Moleküle des Wassertropfens verursacht wurden. Diese stießen permanent und von allen Seiten gegen die größeren, sichtbaren Pollenteilchen. Dieser als Brownsche Bewegung (bzw. Brownsche Molekularbewegung) bekannte Prozess ist in der Stochastik auch als Wiener Prozess bekannt. Dieser zeitstetige stochastische Prozess, der normalverteilte, unabhängige Zuwächse hat, wurde nach dem US-amerikanischen Mathematiker Norbert Wiener (* 1894 in Columbia, Missouri; † 1964 in Stockholm) benannt.

                    In der Praxis ist die Brownsche Bewegung für Mathematiker ein nützliches Instrument: Als "Grenzprozess" von Irrfahrten, überbrückt er die Kluft zwischen schrittweise und  kontinuierlich. Angeregt durch die Untersuchung von Finanzspekulationen arbeitete der Franzose Bachelier eine erste Theorie der Brownschen Bewegung aus. In seiner Arbeit operierte er schon mit dem Wiener Prozess, fünf Jahre bevor Albert Einstein diesen – zum zweiten Mal – entdeckte. Auch gab Bachelier explizite Preisformeln für Standard- (Put- und Call-Optionen und Barrier-Optionen an, 73 Jahre bevor dies Black und Scholes gelang. Basierend auf seinen Arbeiten errichteten Wirtschaftswissenschaftler eine ausgefeilte und umfassende Theorie der Finanzmärkte und des Risikomanagements, das heißt wie Kurse sich ändern, wie Investoren denken und wie man Risiko als die ruhelose Seele des Marktes versteht. Bacheliers Lehren fanden an der Wall Street bereitwillig Schüler und wurden "zum Katechismus für das, was man heute als 'moderne' Finanztheorie bezeichnet", so Benoît B. Mandelbrot.

                    Bedeutende Fortschritte macht in der Folge aber vor allem Paul Lévy. Denn die Brownsche Bewegung ist ein spezieller Lévy-Prozess. Jeder Lévy-Prozess mit stetigen Pfaden ist eine Brownsche Bewegung mit geeigneter Driftrate μ und Volatilität σ. Der begnadete Wissenschaftler untersuchte erstmals Martingale und Lévy-Flüge. Nach ihm benannt sind des weiteren Lévy-Prozesse, das Lévy-Maß und die Lévy-Fläche. "He was a very modest man while believing fully in the power of rational thought. [...] whenever I pass by the Luxembourg gardens, I still see us there strolling, sitting in the sun on a bench. I still hear him speaking carefully his thoughts. I have known a great man", erinnert sich der Mathematiker Michel Loève.

                    "[...] Paul Lévy was a painter in the probabilistic world. Like the very great painting geniuses, his palette was his own and his paintings transmuted forever our vision of reality... His three main, somewhat overlapping, periods were: the limit laws period, the great period of additive processes and of martingales painted in pathtime colours, and the Brownian pathfinder period. [...]" Michel Loève, Mathematiker (* 1907 in Jaffa, Israel, † 1979 in Berkeley, USA).

                    Weiterführende Literaturhinweise:

                    • Cont, Rama/Tankov, Peter (2003): Financial Modelling with Jump Processes, London 2003.
                    • Mandelbrot, Benoît (2004): The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward, New York 2004.
                    • Andrew W. Lo, Entwickler der "Adaptive Markets Hypothesis"

                      Gemeinsam mit dem Neurologen Dmitry Repin analysierte Andrew W. Lo, wie stark Kursausschläge das Nervensystem von Händlern im täglichen Börsengeschäft beeinflussen. Muskelspannungen, Puls, Körpertemperatur oder Atmung und weitere physiologische Reaktionen, die vor allem vom Unterbewusstsein gesteuert werden, wurden von den Wissenschaftlern in ihren Testreihen erfasst. Das Ergebnis war eindeutig: Selbst bei den professionellsten Händlern ergab sich eine hohe Korrelation zwischen außergewöhnlichen Marktbewegungen und erhöhter Pulsfrequenz oder Körpertemperatur.

                      Andrew Wen-Chuan Lo, Charles E. and Susan T. Harris Professor of Finance at the MIT Sloan School of Management [Bildquelle: David Shankbone / Wikipedia]
                      Andrew Wen-Chuan Lo, Charles E. and Susan T. Harris Professor of Finance at the MIT Sloan School of Management [Bildquelle: David Shankbone / Wikipedia]

                      "[...] When you look at hedge funds, you see that the rate of innovation, evolution, competition, adaption, births, and deaths, the whole range of evolutionary phenomena, occurs at an extraordinary rapid clip. […] Hedge funds are the Galapagos Islands of finance. […] When we think about biology, we rarely think about economics, but the fact is, economic transactions […] are essentially outcomes of an evolutionary process in much the same way that certain kinds of chimpanzees will use little bits of straw to ‘fish’ out termites from rotting wood in order to get their food. [...]"

                      In den vergangenen Jahren konnten wir nicht selten Hektik, Krisenstimmung und riesige Handelsumsätze an den Börsen in Frankfurt, New York und London beobachten: Die Hypothekenkrise in den USA versetzt die Märkte in Alarmstimmung, teilweise auch Panik. Handeln so rational denkende Menschen à la Homo Oeconomicus? Die jüngsten Beobachtungen lassen zu Recht daran bezweifeln, dass Investoren so kühl berechnend denken und handeln, wie Ökonomen es gerne annehmen. Um die Gemüter zu beruhigen betrieben die Zentralbanken – unter anderem die Europäische Zentralbank (EZB) und die US-Notenbank (Fed) – Risikomanagement und pumpten massiv Geld in den Markt - über eine höhere Liquiditätsversorgung sollte die Lage stabilisiert werden. 

                      Im theoretischen Modell der Betriebswirtschaftslehre lernen wir einen Menschen kennen, der seine Handlungen allein auf der Basis der ihm vorliegenden Informationen rational ausrichtet und seine Entscheidungen nach dem ökonomischen Prinzip zur Maximierung seines persönlichen Nutzens trifft. Die Realität sieht nicht selten anders aus.

                      Abschied vom Homo Oeconomicus

                      Mit der Entwicklung der experimentellen Wirtschaftsforschung wurde das Konzept des Homo Oeconomicus in den vergangen Jahrzehnten immer häufiger mit Experimenten überprüft und nicht selten widerlegt. So wird beispielsweise in der Spieltheorie das Modell des Homo Oeconomicus angepasst, da dieser nun zum strategisch handelnden Wirtschaftssubjekt wird, das auch kurzfristige Verluste in Kauf nimmt, wenn dies der Verfolgung eines langfristigen Ziels dient. Die Verhaltensökonomik (engl. Behavioral Economics) geht davon aus, dass das beobachtete Verhalten in der Regel der Annahme des rationalen Nutzenmaximierers widerspreche und sucht Erklärungen für irrationales Verhalten. Kritiker, so auch Andrew W. Lo behaupten hingegen, dass auch Behavioral Finance (bzw. Economics) "nur" eine Sammlung von Anomalien sei, als ein echter Zweig der Finanztheorie. Er ist der Ansicht, dass es sich dabei nicht um eine echte Theorie handele, aber eine Theorie benötigt werde, um eine andere Theorie zu widerlegen.

                      Schließlich werden in der Neuen Institutionenökonomik bzw. der Transaktionskostentheorie Faktoren wie asymmetrische Informationen, beschränkte Rationalität und Opportunismus berücksichtigt, um so der Realität etwas näher zu kommen.

                      Finanzmärkte und Biologie

                      Gemeinsam mit dem Neurologen Dmitry Repin analysierte Andrew W. Lo, wie stark Kursausschläge das Nervensystem von Händlern im täglichen Börsengeschäft beeinflussen. Muskelspannungen, Puls, Körpertemperatur oder Atmung und weitere physiologische Reaktionen, die vor allem vom Unterbewusstsein gesteuert werden, wurden von den Wissenschaftlern in ihren Testreihen erfasst. Das Ergebnis war eindeutig: Selbst bei den professionellsten Händlern ergab sich eine hohe Korrelation zwischen außergewöhnlichen Marktbewegungen und erhöhter Pulsfrequenz oder Körpertemperatur.

                      In weiteren Versuchen wurden Daytrader in einen Kernspintomografen gelegt, von dem aus sie eine Handelssoftware bedienen konnten. Über die Analyse der Aktivitäten der unterschiedlichen Gehirnregionen erhalten die Forscher ein besseres Verständnis darüber, wie finanzielle Entscheidungen getroffen werden. Lo und sein Team kamen zu dem Ergebnis, dass es wohl keinen Gehirnbereich gibt, der nur für komplexe Finanzthemen und 
                      -entscheidungen reserviert ist. Daraus schließen die Forscher, dass die Menschen für wirtschaftliche Entscheidungen nicht ideal ausgestattet sind. "Unsere Denkroutinen sind für die physische Welt gedacht. Dementsprechend sollte man bei finanziellen Entscheidungen auch lieber langsamer vorgehen", so Lo.

                      Kein Widerspruch zwischen Emotion und Rationalität

                      Lo ist davon überzeugt, dass Emotion und Rationalität sich nicht gegenseitig ausschließen, sondern sich vielmehr beide ergänzen können. Gefühle ließen sich durch Training positiv nutzen, "wie etwa bei erfolgreichen Sportlern, die fähig sind, Stress zum eigenen Ansporn zu nutzen, statt sich dadurch hemmen zu lassen." So kommen die Wissenschaftler zu dem Ergebnis, dass bestimmte Emotionen bei weniger erfahrenen Händlern deutlich stärker ausfallen als bei den Profis, die offenbar ihre Gefühle besser steuern können. Kurzum: Es kommt nicht darauf an, dass Emotionen per se zu Gunsten größter Rationalität unterdrückt werden. "Am besten wäre es natürlich, wenn wir schon unsere Kinder in Wahrscheinlichkeitstheorie und Risikomanagement unterrichten würden", ergänzt Lo.

                      Psychohistory

                      Während seines Studiums an der Bronx School of Science ("the single most important educational experience of my life") las Andrew W. Lo das Buch "Psychohistory" des wohl bekanntesten Science-Fiction-Schriftstellers und Biochemikers Isaac Asimov. "Psychohistory" basiert auf dem Gedanken, dass man zwar nicht vorhersagen könne, was ein einzelner Mensch tue. Je größer allerdings die Bevölkerung sei, desto eher sei eine Vorhersage möglich, da nun die Vorhersagen auf statistischen Methoden basierten ("Gesetz der großen Zahlen"). 

                      Lo war von Asimovs Ausführungen so fasziniert, dass er nachweisen wollte, dass sie auch in der realen (Finanz-)welt Gültigkeit besitzen. Während seiner Zeit in Harvard traf er eine Ex-Kommilitonin der Bronx School of Science, die ihn motivierte eine Vorlesung von Robert C. Merton am MIT zu besuchen. "This single course changed my life. I found that more of my intellectual thirst was slaked by Merton’s lectures. This was finally what I had been searching for. Exactly 25 years later, I can still tell you exactly which lecture contained the notion of arbitrage, the idea of replicating options by dynamic trading, and the formula for Markowitz’s concept of optimizing mean/variance portfolios." Lo war davon überzeugt, dass "Finance" der einzige Bereich der Ökonomie sei, der wirklich funktioniere. 

                      Lo betrachtete den Finanzsektor durch einen Prisma, in dem die Finanztheorie nur eine Perspektive war. Die weiteren Perspektiven waren Mathematik, Physik, Geschichte, Biologie, Soziologie, Psychologie und Evolutionstheorie.

                      Adaptive Market Hypothesis

                      Eine der Kernfragen für Andrew W. Lo war die Suche nach den Treibern von Veränderung und Dynamik. Lo fand die Antwort in Darwins Evolutionstheorie. Der von Darwin skizzierte Evolutionsprozess folgt einer gewissen "Trial and Error"-Logik. Bei bestimmten Einheiten bilden sich im Laufe der Zeit – und klarer Zielrichtung insgesamt – komplexe Eigenschaften heraus, die ihre Reproduktion begünstigen, während in jeder Generation auch ein Teil verdrängt wird (d. h. ausstirbt). Teilweise können Eigenschaften auch an Komplexität verlieren, wenn der entsprechende Selektionsdruck nachlässt oder sich eine weniger komplexe Eigenschaft als vorteilhafter durchsetzt. 

                      Einen parallelen Prozess von Evolution fand Lo auf den Kapitalmärkten und nannte seine Theorie "Adaptive Market Hypothesis". In diesem Kontext verglich er auch Hedge Funds mit den "Galapagos Islands of Finance", da dort ein hoher Grad an Innovation, Evolution, Wettbewerb, Anpassungen, Geburten und Todesfällen beobachtet werden könne.

                      Weiterführende Literaturhinweise:

                      • Bernstein, P. L./Capital Ideas Evolving, Hoboken 2007.
                      • Camerer, C. F./Loewenstein, G./ Rabin, R. (eds.): Advances in Behavioral Economics, 2003.
                      • Kahneman, D./Tversky, A.: Prospect theory: An analysis of decision under risk, Econometrica, Vol. 47, No. 2/1979, S. 263-291.
                      • Kirchgässner, G.: Homo oeconomicus - Das ökonomische Modell individuellen Verhaltens und seine Anwendung in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Tübingen 1991.
                      • Lo, A. W./Repin, D.: The Psychophysiology of Real-Time Financial Risk Processing, in: NBER Digest, March 2002 (www.nber.org/papers/w8508)
                      • Lo, A. W./ Chan, N./Getmansky, M./ Haas, S. M.: Do Hedge Funds Increase Systemic Risk?, in Federal Reserve Bank of Atlanta Economic Review 2006, Q4, p. 49-80.
                      • Shleifer, A.: Inefficient Markets: An Introduction to Behavioral Finance, Oxford 1999.
                      • Technology Review: Interview mit Andrew W. Lo (Der Reichere überlebt) vom 25.04.06, www.heise.de/tr/artikel/72300
                      • Harry Max Markowitz, Begründer der modernen Portfoliotheorie

                        Geboren wurde Harry M. Markowitz am 24. August 1927 in der Industriestadt Chicago. Der junge Markowitz interessierte sich schon recht früh für Physik, Astronomie und Philosophie. Nach seinem Bachelor-Abschluss studierte er an der Universität in Chicago Wirtschaftswissenschaften. Grundstein für sein Interesse an den Themen Risiko und Unsicherheit waren die Publikationen von Morgenstern, von Neumann und Friedman-Savage.

                        Harry Max Markowitz (* 24. August 1927 in Chicago, [Source: MarketsWiki)
                        Harry Max Markowitz (* 24. August 1927 in Chicago, Illinois) [Source: MarketsWiki)

                        Geboren wurde Harry Max Markowitz am 24. August 1927 in der Industriestadt Chicago. Seine Eltern Morris und Mildred Markowitz führten dort ein kleines Lebensmittelgeschäft. Der junge Markowitz interessierte sich schon recht früh für Physik, Astronomie und Philosophie. Nach seinem Bachelor-Abschluss studierte er an der Universität in Chicago Wirtschaftswissenschaften. Grundstein für sein Interesse an den Themen Risiko und Unsicherheit waren die Publikationen von Morgenstern, von Neumann und Friedman-Savage. Zu dieser Zeit wurde Markowitz von der "Cowles Commission for Research in Economics", welche diverse Nobelpreisträger hervorgebracht hat, als studentisches Mitglied aufgenommen.

                        In seiner Doktorarbeit befasste sich Markowitz mit der Anwendung mathematischer Methoden auf Aktienmärkten. Bei den Recherchearbeiten stieß er auf er John Burr Williams "Theorie of Investment Value" und entwarf das Grundkonzept der modernen Portfoliotheorie. Im Jahr 1952 wechselte er von der Chicagoer Universität zur RAND Corporation. Dort lernte er William F. Sharpe kennen. Im gleichen Jahr erschien auch sein Artikel über die "Portfolio Selection" (The Journal of Finance, Vol. VII, No. 1, March 1952). In den folgenden Jahren war er u.a. an der University of California in Los Angeles (1968 bis 1969), der Arbitrage Management Company (1969 bis 1972) sowie IBM’s T.J. Watson Research Center (1974 bis 1983) tätig.

                        Im Jahr 1989 wurde Markowitz mit dem "Von Neumann Preis in Operations Research Theory" der "Operations Research Society of America" und des "Institute of Management Sciences" ausgezeichnet. Im Jahr 1990 wurde ihm – gemeinsam mit William F. Sharpe und Merton M. Miller – der Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften verliehen.

                        Wie sieht ein effizientes Portfolio aus?

                        Seit Markowitz die Portfoliotheorie "erfunden" hat, beschäftigt Anleger und Finanzforscher die Frage, wie sie ein sinnvolles beziehungsweise optimales Verhältnis von Renditechance zu Risiko erreichen können. Quintessenz für die optimale Zusammensetzung eines (Aktien-)Portfolios ist nach der Markowitz’schen Theorie, dass die Renditeentwicklung der einzelnen Vermögenswerte in guten und schlechten Börsenzeiten möglichst wenig korreliert (= effizientes Portfolio).

                        Es ist offensichtlich, dass jeder Anleger das Ziel verfolgt, eine hohe Rendite bei möglichst geringem Risiko zu erlangen. Oft beinhalten aber gerade Anlageprodukte mit hohen Renditechancen auch ein hohes Risiko. Die höhere Gewinnchance muss sich ein Investor mit dem Eingehen eines höheren Risikos "erkaufen" (Fortes fortuna adiuvat, "wer wagt, gewinnt"). Risiken sind die aus der Unvorhersehbarkeit der Zukunft resultierenden, durch "zufällige" Störungen verursachten Zielabweichungen. Risiken können daher auch als "Streuung" um einen Erwartungs- oder Zielwert betrachtet werden. Mögliche Abweichungen von den geplanten Zielen stellen Risiken dar – und zwar sowohl negative ("Gefahren") wie auch positive Abweichungen ("Chancen").

                        Kursschwankungen determinieren Risiko

                        Als Risikomaß wird heute beispielsweise die als Varianz oder Standardabweichung gemessene Schwankungsbreite der Erträge um Ihren Erwartungswert verwendet. Ist die Schwankungsbreite niedrig, so wird eine Anlage als weniger riskant angesehen. Eine Anlage, deren Ergebnisse eine große Streuung aufweisen, ist als deutlich riskanter einzustufen. 
                        Auf diesen Zusammenhang setzt die moderne Portfoliotheorie auf. Markowitz stellte im Zusammenhang mit der Entwicklung der modernen Portfoliotheorie erstmals die folgende Frage: "Welche Ertragsaussichten sollen mit welchem Risikopotential erkauft werden?" 

                        Die Antwort ist trivial: 

                        • Bei gegebenem Ertrag ist das Risiko zu minimieren. 
                        • Bei gegebenem Risiko ist der Ertrag zu maximieren. 

                        Um den Zusammenhang zwischen Risiko und Renditeerwartung abzubilden, können beide Parameter im Risiko-/Performance-Diagramm (siehe Abbildung) dargestellt werden. Die Performance ist auf der Ordinate, das Risiko auf der Abszisse abgebildet. Das bedeutet: je weiter links, desto risikoärmer ist die Anlage, je weiter oben, desto höher ist die Performance. In diesem Kontext beschreiben die "Performance" die Renditechance und das "Risiko" das potenzielle Verlustrisiko einer Anlage. Das Risiko einer Anlage lässt sich an den Kursschwankungen erkennen.

                        Abbildung: Beispiel eines Risiko-/Performance-Diagramms 
                        Abbildung: Beispiel eines Risiko-/Performance-Diagramms

                        Portfolioidee eigentlich nichts Neues

                        Markowitz erkannte vor allem, dass Vermögensanlagen nicht isoliert, sondern stets aus einer Portfoliosicht zu beurteilen sind. Diese Erkenntnis ist nicht neu: Die ersten Ansätze einer rudimentären Versicherung und des Portfoliogedankens entstanden bereits im Altertum, insbesondere in Griechenland, Kleinasien und Rom. So schlossen sich bereits etwa um 3.000 v. Chr. phönizische Händler zu Schutzgemeinschaften zusammen und ersetzten ihren Mitgliedern verloren gegangene Schiffsladungen [vgl. Romeike 2005, S. 27]. Im Mittelalter bildeten sich Vereinigungen von Kaufleuten (Gilden), Schiffsbesitzern und Handwerkern (Zünfte), deren Mitglieder sich unter Eid zu gegenseitiger Hilfe etwa bei Brand, Krankheit oder Schiffbruch verpflichteten.

                        Die ersten Versicherungsverträge – die alle auf den Grundgedanken der modernen Portfoliotheorie basierten – sind vor allem sehr eng mit der Seefahrt und der Entstehung des modernen Risikobegriffs verbunden und wurden Ende des 14. Jahrhunderts in Genua und anderen Seeplätzen Italiens geschlossen [Romeike 2005, S. 29]. Mit derartigen Versicherungsverträgen konnten Schiffseigentümer sich gegen Verlust ihrer Schiffe durch Sturm und Piraten schützen. Auf Grund der über einen längeren Zeitraum erstreckten Beobachtungen der Unfälle von Handelsschiffen wurde eine Prämie von beispielsweise 12 bis 15 Prozent zur Abdeckung des Risikos verlangt. Aus dieser Zeit stammt auch das folgende Zitat: "Seit Menschengedenken ist es unter Kaufleuten üblich, einen Geldbetrag an andere Personen abzugeben, um von ihnen eine Versicherung für seine Waren, Schiffe und andere Sachen zu bekommen. Demzufolge bedeutet der Untergang eines Schiffes nicht den Ruin eines einzelnen, denn der Schaden wird von vielen leichter getragen als von einigen wenigen."

                        Reduzierung der Wertschwankungen durch Risikostreuung

                        In der modernen Portfoliotheorie spielt vor allem die Messung der Korrelation eine wesentliche Rolle. Die Abhängigkeit zwischen einzelnen Parametern (beispielsweise Risiken) wird mit dem Korrelationskoeffizienten gemessen, der Werte zwischen -1 und 1 annehmen kann. 

                        Für ein Portfolio ist es – aus der Perspektive der Risikostreuung – nicht effizient, wenn die unterschiedlichen Depotwerte sich gleich verhalten bzw. Ereignisse bei einzelnen Werten zu Kettenreaktionen führen (Korrelation: +1). Umgekehrt ist es aus der Perspektive der Risikostreuung ineffizient, wenn die verschiedenen Anlagen eines Portfolios sich gegenläufig entwickeln. Beispielsweise steigt aufgrund eines Ereignisses die Hälfte der Depotwerte und die andere Hälfte sinkt (Korrelation: –1). Ziel einer effizienten Portfolioselektion und eines adäquaten Risikomanagement ist es, die Wertschwankungen der einzelnen Anlagen durch Risikostreuung zu reduzieren. Um dieses Ziel zu erreichen, sollen die verschiedenen Anlageformen sich weder gegenläufig noch entgegengesetzt entwickeln, sondern voneinander unabhängige Entwicklungen realisieren (Korrelation: 0).

                        Efficient frontier curves

                        Im Risiko-/Performance-Diagramm können nun alle durch Diversifikation möglichen Portfolien abgebildet werden. Die obere Grenze nennt man "efficient frontier curve" (siehe Abbildung). Punkte oberhalb der Effizienzlinie sind nicht realisierbar, Punkte unterhalb dieser Linie sind ineffizient. Die Effizienzlinie ist der geometrische Ort aller optimalen Ertrags-Risiko-Kombinationen.

                        Ab einem bestimmten Punkt ist die Diversifikation des Depots in Hinblick auf eine erhöhte Rendite nur noch unter Inkaufnahme eines gleichzeitig steigenden Risikos möglich. In diesem Kontext wird ein Depot dann als effizient bezeichnet, wenn es – durch Diversifikation – auf der Effizienzgrenze liegt. Effiziente Portfolien haben bei einem bestimmten Risiko die höchste Performanceerwartung, das heißt, es existiert kein anderes Portfolio, das bei mindestens gleichem Ertrag ein geringeres Risiko aufweist, oder umgekehrt, es existiert kein Portfolio, das bei gleichem Risiko einen höheren Ertrag bietet.

                        Efficient frontier curve (Effizienzlinie)
                        Efficient frontier curve (Effizienzlinie)

                        Weiterführende Literaturhinweise:

                        • Elton, E. J./Gruber, M. J./Brown, S. J./Goetzman, W. N. (2003): Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, 6. Auflage, New York 2003.
                        • Markowitz, H. M. (1952): Portfolio Selection, in: The Journal of Finance, Vol. VII, No. 1, March 1952
                        • Markowitz, H. M. (2007): Portfolio Selection - Die Grundlagen der optimalen Portfolio-Auswahl, München 2007.
                        • Spremann, K. (2006): Portfoliomanagement, 3. überarbeitete und ergänzte Auflage, München 2006.
                        • Merton Howard Miller, widmete sich der Preisbildungstheorie im Kapitalmarkt

                          Merton Howard Miller (* 16. Mai 1923 in Boston, Massachusetts; † 3. Juni 2000 in Chicago) war ein US-amerikanischer Ökonom und hat gemeinsam mit Harry Markowitz und William Sharpe im Jahr 1990 den Preis für Wirtschaftswissenschaften der schwedischen Reichsbank in Gedenken an Alfred Nobel für seine grundlegenden wissenschaftlichen Beiträge zur Theorie der Unternehmensfinanzen erhalten.

                          Merton Howard Miller (* 16. Mai 1923 in Boston, Massachusetts; † 3. Juni 2000 in Chicago)
                          Merton Howard Miller (* 16. Mai 1923 in Boston, Massachusetts; † 3. Juni 2000 in Chicago)

                          "[...] In particular I will argue, first, that the highly visible losses and defaults on junk bondsdo not mean that overleveraging did in fact occur; second, paradoxical as it may sound, that increased leveraging by corporations does not imply increased risk for the economy as a whole; third, that the financial distress being suffered by some highly leveraged firms involves mainly private, not social costs; and finally, that the capital markets have built-in controls against overleveraging - controls, moreover, very much in evidence at the moment. [...]"

                          Merton Howard Miller (* 16. Mai 1923 in Boston, Massachusetts; † 3. Juni 2000 in Chicago) war ein US-amerikanischer Ökonom und hat gemeinsam mit Harry Markowitz und William Sharpe im Jahr 1990 den Preis für Wirtschaftswissenschaften der schwedischen Reichsbank in Gedenken an Alfred Nobel für seine grundlegenden wissenschaftlichen Beiträge zur Theorie der Unternehmensfinanzen erhalten.

                          Merton H. Miller folgte den Fußstapfen seines Vaters, einem Rechtsanwalt, und studierte in den Jahren 1940 bis 1943 an der renommierten und ältesten Universität in den Vereinigten Staaten, der Harvard University in Cambridge, Massachusetts, Rechts- und Wirtschaftswissenschaften.

                          Seine eigentlichen Interessen konzentrierten sich jedoch eher auf die Wirtschaftswissenschaft und nur sekundär auf die Rechtswissenschaften. Während seiner Zeit in Cambridge traf er auch seinen Kommilitonen Robert M. Solow, der im Jahr 1987 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften für seine Arbeiten über ökonomische Wachstumstheorien erhielt.

                          Während der Kriegsjahre arbeitete Miller im US-Finanzministerium und im Zentralbank-System der Vereinigten Staaten (Federal Reserve System). Im Jahre 1949 entschied sich Miller wieder zurück in die Wissenschaft zu gehen und schloss an der Johns Hopkins University in Baltimore seine Promotion ab. In den anschließenden Jahren lehrte Miller an der London School of Economics und am Carnegie Institute of Technology (heute: Carnegie-Mellon University). Hier lerne er auch neben dem deutschstämmigen Herbert Simon, der im Jahr 1978 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften "für seine bahnbrechende Erforschung der Entscheidungsprozesse in Wirtschaftsorganisationen" erhielt, auch Franco Modigliani kennen. Franco Modigliani erhielt im Jahr 1990 den Preis für Wirtschaftswissenschaften der schwedischen Reichsbank in Gedenken an Alfred Nobel für seine grundlegende Analyse über das Sparverhalten der Finanzmärkte. Gemeinsam mit ihm veröffentlichte er im Jahr 1958 den vielfach zitierten und diskutierten Artikel "The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of Investment" in der American Economic Review. 

                          Die Frage nach der optimalen Kapitalstruktur

                          In ihrer Analyse hatten sie die Frage untersucht, in welchem Verhältnis sinnvollerweise Eigen- und Fremdkapital zueinander sehen sollten (Kapitalstrukturproblem). Erstmal hatten sie im Rahmen ihrer betriebswirtschaftlichen Analyse einen Bezug zum Kapitalmarkt hergestellt. So konnten sie zeigen, dass der Wert eines Unternehmens in einem funktionierenden Markt nicht von der Kapitalstruktur, sondern ausschließlich von der erwirtschafteten Rendite auf das eingesetzte Gesamtkapital abhängt. Da dieselben Effekte, die die Unternehmensleitung durch Veränderung in der Verschuldung des Unternehmens auf die Risiko-Renditen-Position der Aktionäre bewirken kann, auch von den Aktionären kostenlos im Rahmen ihrer privaten Veranlagungen erwirkt werden können, sind sie ohne Einfluss auf ihre Wohlfahrtsposition. Die in der Betriebswirtschaftslehre lange diskutierte Frage nach der optimalen Kapitalstruktur stellt somit überhaupt kein Problem dar: Für die Bewertung eines Unternehmens ist die Kapitalstruktur irrelevant. Damit ist auch jede andere Annahme über die vom Markt geforderte Eigenkapitalrendite als die, dass sie linear mit steigender Verschuldung zu wachsen habe, mit grundlegenden Prinzipien einer marktwirtschaftlichen Ordnung (law of one price) nicht vereinbar.

                          Im Jahr 1961 verliess Miller Carnegie und wechselte zur Graduate School of Business an der Universiät in Chicago. Dort forschte und lehrte Miller als Professor für Bankwesen und Finanzen und wird der Chicagoer Schule zugeordnet.

                          Leg nicht alle Eier in einen Korb

                          Im Jahr 1990 wurde Miller – zusammen mit Merton H. Miller und William F. Sharpe – mit dem Preis der schwedischen Reichsbank für Wirtschaftswissenschaften in Gedenken an Alfred Nobel für seine Forschungen auf dem Gebiet der Preisbildungstheorie im Kapitalmarkt ausgezeichnet. Kern des Portfolio-Selekton-Modells war die empirische Beobachtung, dass Anleger ihr Vermögen nicht nur in einem Anlagetitel investieren, sondern es auf mehrere Anlagetitel aufteilen. Sie folgen quasi der Grundregel des Risikomanagements: Leg nicht alle Eier in einen Korb. Eine Diversifikation des Portfolios ist aber nur dann sinnvoll, wenn die Anleger nicht nur die Rendite, sondern auch das Risiko in ihrer Anlageenscheidung berücksichtigen. Würden die Anlager ausschließlich die Rendite betrachten, so käme nur der Titel mit der höchsten Rendite in das Portfolio. 

                          Ein Portfolio gilt erst dann als effizient, wenn sich kein anderes Portfolio finden lässt das bei gleichem Ertrag ein geringeres Risiko aufweist oder bei gleichem Risiko einen höheren Ertrag erwarten lässt. Mit anderen Worten: Jede andere Kombination der Einzelanlagen zu einem Portfolio ist für den Anleger ungünstig, weil entweder

                          1. bei gegebenem Ertrag das Risiko noch weiter reduziert werden kann oder
                          2. bei gegebenem Risiko die Ertragsmöglichkeiten nicht voll ausgeschöpft werden.

                          Markowitz konnte – gemeinsam mit seinen Kollegen – zeigen, dass es nicht nur ein einziges effizientes Portfolio gibt, sondern sehr viele. Die effizienten Portfolios liegen auf einer Linie, die man als die Effizienzkurve bezeichnet (siehe Abbildung).

                          Effizienzkurve im Risiko-Ertrag-Diagramm
                          Effizienzkurve im Risiko-Ertrag-Diagramm

                          In der Abbildung ist auf der horizontalen Achse das Risiko in Form der Volatilität und auf der vertikalen Achse der Ertrag in Form der Rendite aufgetragen. Die Effizienzkurve weist typischerweise einen gekrümmten Verlauf auf. Alle Portfolios die sich aus einer gegebenen Menge von Einzelanlagen zusammenstellen lassen, liegen auf oder unterhalb der Effizienzkurve. 

                          Portfolios die unterhalb dieser Effizienzkurve liegen (Punkte C und D) sind nicht effizient und kommen bei freier Auswahl für keinen Anleger in Betracht. Die Effizienzkurve stellt also unter dem Risiko-Ertrags Aspekt die für alle Anleger gleichermaßen gültige Menge der wählbaren Portfolios im Sinne wirtschaftlich sinnvoller Entscheidungsalternativen dar. Die Abbildung verdeutlicht daher sehr anschaulich, wie durch die Bildung effizienter Portfolios im Sinne der Diversifikation das Verhältnis von Risiko und Ertrag verglichen mit den Einzel-Anlagen deutlich verbessert werden kann. Die Effizienzkurve umfasst Portfolios mit geringem Risiko im linken Teil (Punkt E) bis zu Portfolios mit sehr viel höherem Risiko und dafür höheren Ertragschancen im rechten Teil (Punkt B). 

                          Aufbauend auf den Erkenntnissen der Portfoliotheorie entwickelte William F. Sharpe das Capital Asset Pricing Model (CAPM). Das Modell geht davon aus, dass Risiko explizit in Form einer vom Markt determininierten, zusätzlich geforderten Rendite berücksichtigt wird. Nach CAPM hängt der Wert einer Aktie von ihrem Risikobeitrag zum Portefeuille ab. Kritisch muss angemerkt werden, dass CAPM von Annahmen ausgeht, die häufig realitätsfern sind. So werden etwa homogene Erwartungen unterstellt. Dies setzt voraus, dass alle Investoren die gleichen bewertungsrelevanten Informationen besitzen.

                          Weiterführende Literaturhinweise:

                          • Modigliani, F./Miller, M. (1958): The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of Investment, in: American Economic Review, Juni 1958.
                          • Putnoki, H./Hilgers, B. (2007): Größe Ökonomen und ihre Theorien – Ein chronologischer Überblick, Weinheim 2007.
                          • Hyman P. Minsky, entwickelte die Hypothese finanzieller Instabilität

                            Plötzlich erlebt ein halb vergessener Ökonom eine Renaissance: Entsprechend Hyman P. Minskys Theorien sind Finanzkrisen und heftige Marktbewegungen als systembedingte Folgen des Verhaltens von Marktteilnehmern zu betrachten und werden im Zusammenhang mit der Subprime-Krise intensiv diskutiert. Im Kern entwickelte Minsky eine Theorie dazu, wie Finanzblasen entstehen und irgendwann platzen. Die finanzorientierte Argumentation Minskys wird oft auch als "Wall Street-Keynesianismus" bezeichnet.

                            Hyman P. Minsky (* 23. September 1919 in Chicago, † 4. Oktober 1996 in Rhinebeck, N.Y.)
                            Hyman P. Minsky (* 23. September 1919 in Chicago, † 4. Oktober 1996 in Rhinebeck, N.Y.)

                            Hyman P. Minsky (* 23. September 1919 in Chicago, † 4. Oktober 1996 in Rhinebeck, N.Y.), US-amerikanischer Ökonom, widmete sich insbesondere der Fragilität von Finanzmärkten und der Hypothese finanzieller Instabilität (Financial Instability Hypothesis).

                            "[...] Während das Experimentieren mit dem Ausdehnen des Schuldverhältnisses jahrelang weitergehen kann und ein Prozess des schrittweise Herantastens an die Grenzen des Marktes ist, kann die Umbewertung akzeptabler Schuldenstrukturen sehr plötzlich und schnell stattfinden. [...]"

                            Plötzlich erlebt ein halb vergessener Ökonom eine Renaissance: Entsprechend Hyman P. Minskys Theorien sind Finanzkrisen und heftige Marktbewegungen als systembedingte Folgen des Verhaltens von Marktteilnehmern zu betrachten und werden im Zusammenhang mit der Subprime-Krise intensiv diskutiert. Im Kern entwickelte Minsky eine Theorie dazu, wie Finanzblasen entstehen und irgendwann platzen. Die finanzorientierte Argumentation Minskys wird oft auch als "Wall Street-Keynesianismus" bezeichnet.

                            Minsky fand während seiner Zeit als Wissenschaftler nur wenig Gehör, da die neoliberale Schule der Ökonomie, die in Reaktion auf die Theorien von John Maynard Keynes entstanden war, über alle Querdenker dominierte. Die meisten neoliberalen Wirtschaftswissenschaftler waren zur damaligen Zeit davon überzeugt, dass die Finanzmärkte "effizient" seien. Hyman Minsky sah dies anders: Erfolg führe zu größeren Wagnissen. Wenn etwas funktioniere, dann probiere man es immer weiter, immer extremer aus, bis es nicht mehr funktioniert. Stabilität führe damit notwendig zu Instabilität.

                            Nicht der Blick in den Rückspiegel ist entscheidend

                            In der Retrospektive ist es erstaunlich, dass nur wenige Marktteilnehmer und Wissenschaftler seine Überlegungen ernst nahmen. Denn seine Grundüberlegungen leuchten ein und sind auch mit einem gesunden Menschenverstand nachvollziehbar: Die freien Kapitalmärkte führen dazu, dass die Akteure in guten Zeiten immer höhere Risiken eingehen. Immer mehr Marktteilnehmer gehen davon aus, dass es im nächsten Jahr nicht anders gehen wird als in den vergangenen Jahren. 

                            Marktteilnehmer verhalten sich wie der Autofahrer, dessen Frontscheibe beschlagen ist und der deshalb mit Hilfe des Rückspiegels fährt. Was sagen Zahlen, die gestern ermittelt wurden und vorgestern aufgrund von Ereignissen von vorvorgestern zustande kamen denn über die Situation von Morgen aus? Die Zukunft ist ungewiss und lässt sich nicht mit einem Blick in den Rückspiegel erkennen. Kein Bauer käme auf die Idee, aus der Ernte des Vorjahres auf die Ernte des kommenden Jahres zu schließen. Unvorhersehbare Katastrophen – Sturm, Hagel, Überschwemmung, Heuschreckenschwärme oder Pestilenz – verhindern einen scharfen Blick in die Zukunft.

                            Risikoprämien sinken

                            Doch zurück zu den Finanzmärken: Minsky war der Auffassung, dass Erfolg zu größeren Wagnissen führe. Mit der Zeit wachsen dann die Schulden (beispielsweise als Unternehmenskredite oder Hypotheken) bis zu einem Punkt, an dem die Cashflows der Marktteilnehmer die wachsenden Kosten des Schuldendienstes nicht mehr tragen können. Parallel zu der wachsenden Verschuldung verändern Kreditgeber, Aufsichtsbehörden und Rating-Agenturen ihre Risikowahrnehmung. Die Folge ist, dass die Papierwerte an den Finanzmärkten immer mehr steigen und sich von den realen Werten lösen. Gleichzeitig sinken die Risikoprämien in den Keller. Und irgendwann kommt der Punkt, an dem die fragilsten Schuldner ihren Verpflichtungen nicht mehr nachkommen können. Die Kreditgeber ziehen die Notbremse und die Marktteilnehmer sitzen mitten in einer Kreditklemme. Kurzum: Die Blase platzt. An diesem Punkt befinden wir uns heute, so die Meinung vieler Ökonomen. Was Ökonomen aber heute besonders beunruhigt, ist die Tatsache, dass die Kreditblase weltweit besteht und die Schuldenpyramide die bisher größte überhaupt ist. Die Domino-Rallye führt dazu, dass auch Schuldner mit guter Bonität mitgerissen werden und die Werte von Aktien, Immobilien, Rohstoffen etc. sinken. Schlussendlich kann der Dominoeffekt auch zu einem "Minsky-Meltdown" führen.

                            Zwei grundsätzliche Erklärungsansätze für Finanzkrisen

                            Die ökonomische Theorie bietet im Prinzip zwei Erklärungsansätze für Finanzkrisen: 

                            • In einem ersten Erklärungsansatz werden Finanzkrisen durch exogene Schocksverursacht. Anhänger dieser Interpretation gehen in ihren Modellen normalerweise von den Hypothesen rationaler Erwartungen und der Homogenität der wirtschaftlichen Akteure aus.
                            • In einem zweiten Erklärungsansatz werden Finanzkrisen durch endogene Einflussfaktoren hervorgerufen. Diese Strömung verwirft die oben genannten Hypothesen. Die ultimative Ursache von Finanzkrisen liegt in der Massenpsychologie bzw. im Herdenverhalten der wirtschaftlichen Akteure. Die Hypothesen rationaler Erwartungen und der Homogenität der Wirtschaftsakteure sind für sie nichts anderes als realitätsfremde Arbeitshypothesen.

                            Die endogenen Erklärungen von Finanzkrisen lassen auch Platz für exogene Schocks, die in diesem Fall aber eher als Katalysator der Krise auftreten. Minskys "Financial Instability Hypothesis" ist den endogenen Krisentheorien zuzuordnen. Seiner Meinung nach ist der kapitalistische Marktmechanismus inhärent instabil, indem Ungleichgewichtssituationen und Arbeitslosigkeit zum Normalzustand gehören. Als Ursache hierfür hat Minsky primär das hoch entwickelte Finanzsystem identifiziert. Ein solches System ist inhärent instabil, das heißt es verhält sich zyklisch und kann nur beschränkt gelenkt werden.

                            Diese Argumentation widerspricht dem Mainstream-Ansatz, dass Geld "neutral" den Waren und Dienstleistungen gegenüber sei (John Maynard Keynes hat mit seiner General Theory im Jahr 1936 die Mehrzahl der Ökonomen davon überzeugen können, dass es nicht wirklich eine Trennung zwischen Realwirtschaft und Geld gibt. Die Neutralität galt nicht mehr, bis Milton Friedman im Jahr 1956 behauptete, dass Geld allenfalls kurzfristig Einfluss auf die Realwirtschaft ausübe, langfristig sich jedoch neutral verhalten würde.). Außerdem widerspricht Minskys Hypothese der Logik, dass die Kapitalstruktur für den Marktwert eines Unternehmens irrelevant sei (Modigliani-Miller-Theorem) bzw. dass das deficit spending der Regierung keine Auswirkung auf die Privatwirtschaft habe (Ricardianisches Äquivalenz-Theorem).

                            Die Gier nach mehr

                            Auf den heutigen Finanzmärkten findet der Betrachter eine schier unendliche Vielfalt von Instrumenten, die sich aus SwapsOptionen und teilweise recht exotischen Strukturierungen zusammensetzen. Im Kern verfolgen aber alle Instrumente ein Ziel, nämlich die Steuerung bzw. das Management von Risiken. 

                            In den vergangenen Jahren ist das Emissionsvolumen quasi im Gleichschritt mit den Fortschritten in der Modellierungstechnik von (Kredit-)risiken stark angestiegen. Strukturierte Finanzinstrumente können, wie andere Formen des Kreditrisikotransfers – etwa Credit Default Swaps (CDS) oder Pass-Through-Verbriefungen – dazu eingesetzt werden, Kreditrisiken zwischen Finanzinstituten und Sektoren zu verschieben. Pool- und Tranchenbildung sind nicht nur die wesentlichen Quellen für den Wert von strukturierten Finanzprodukten, sie sind auch die Hauptfaktoren hinter dem, was als "Komplexität" dieser Instrumente bezeichnet werden kann. Was die Poolbildung betrifft, so erfordert die Bewertung von Risiko und Ertrag eines strukturierten Finanzinstruments die Modellierung der Verlustverteilung des zugrunde liegenden Forderungspools.

                            Die schnelle Weiterentwicklung der strukturierten Finanzmärkte und das Wachstum der Volumina führt als Resultat jedoch nicht zu einer Reduzierung des Gesamtrisikos (was zu erwarten wäre), sondern vielmehr zu immer höheren Wetten und einer steigenden Gier, da die Marktteilnehmer Risiken ausblenden und nur die eine Seite der Chancen-/Risikomedaille sehen. Aufgrund der zunehmenden Komplexität der Produkte, der Pool- und Tranchenbildung lassen sich die Risiken nur noch mit komplexen mathematischen Methoden identifizieren und bewerten. In der Folge tritt als weiteres Problem ein Modellrisiko auf, das eng mit der Komplexität strukturierter Produkte und der Reagibilität des Tranchenrisikos auf unterschiedliche, in den Schätzungen der Verlustverteilung des Forderungspools enthaltene Annahmen verbunden ist. Kurzum: Beim Handel mit strukturierten Instrumenten besteht eine nicht zu unterschätzende Wahrscheinlichkeit, dass die Risiken nicht adäquat bewertet wurden.
                             
                            Allerdings lassen sich die elementaren Grundmechanismen der Märkte nicht ausschalten: Geringeres Risiko führt zu geringeren Renditen und vice versa. Was tun? Geringere Renditen müssen durch höhere Risiken, das heißt Schulden, aufgebessert werden. Die Finanzwelt hat also nur eine Wahl: Sie muss die Stabilität so lange auszunutzen, bis sie in Instabilität verfällt.

                            Fazit

                            Die modernen Methoden des Risikomanagements und der Finanztheorie können einen Faktor nicht ausschalten: Die Gier nach mehr und die daraus folgende Instabilität. Das ist im Kern das Grundgesetz von Hyman Minsky. 

                            Weiterführende Literaturhinweise:

                            Emunds, B. (2001): Der Finanzkeynesianismus in der Tradition Hyman Minskys, in: PROKLA 123, 31. Jg., Nr. 2, Juni 2001, S. 245 ff.. 

                            Clement, R./Terlau, W./Kiy, M. (2004): Grundlagen der angewandten Makroökonomie, München 2004.

                            Keynes, J. M. (1936): The General Theory of Employment, Interest, and Money, New York 1936.

                            Kindleberger, C. (1978): Manias, Panics and Crashes. New York 1978. 

                            Lahart, J. (2007): In Time of Tumult, Obscure Economist Gains Currency, in: The Wall Street Journal, 18. August 2007.

                            Minsky, H. P. (1975): John Maynard Keynes, Columbia University Press 1975.

                            Minsky, H. P. (1977): Die Hypothese der finanziellen Instabilität, Challenge, White Plains, N. Y. 1977, S. 20 ff.

                            Minsky, H. P. (1986): Stabilizing An Unstable Economy, Yale University Press 1986.

                            Minsky, H. P. (1982): Can "It" Happen Again? Essays on Instability and Finance. New York 1982.

                            Schnyder, M. (2002): Die Hypothese finanzieller Instabilität von Hyman P. Minsky - Ein Versuch der theoretischen Abgrenzung und Erweiterung, Dissertation vorgelegt der Wirtschafts- und sozialwissenschaftlichen Fakultät der Universität Freiburg in der Schweiz, Freiburg 2002.

                            • Franco Modigliani, formulierte das Modigliani-Miller Theorem

                              Gemeinsam mit Merton Miller formulierte er das Modigliani-Miller Theorem, welches den Einfluss des Verschuldungsgrades eines Unternehmens auf dessen Kapitalkosten beschreibt. Das erste Theorem von Modigliani und Miller basiert auf der Aussage, dass es keine Steuern, keine Insolvenzkosten, keine asymmetrischen Informationen und einen vollkommenen Kapitalmarkt gibt, über den ein Unternehmen finanziert ist, dann ist der Marktwert des Unternehmens unabhängig von der Finanzierungsform des Unternehmens.

                              Franco Modigliani (* 18. Juni 1918 in Rom; † 25. September 2003 in Cambridge, Massachusetts) [Bildquelle: The Nobel Foundation]
                              Franco Modigliani (* 18. Juni 1918 in Rom; † 25. September 2003 in Cambridge, Massachusetts)

                              Modigliani wurde im Jahr 1918 als Sohn eines jüdischen Physikers in Italien geboren. Vor dem Hintergrund der faschistischen Entwicklungen in Europa wanderte er im Jahr 1939 in die USA aus. Im Jahr 1944 erhielt er seinen Ph.D. von der New School for Social Research. Im Jahr 1948 wechselte er zur University of Illinois, später dann als Professor an die Carnegie Mellon University. Während dieser Zeit beeinflusste er die Wirtschaftswissenschaften mit zwei bahnbrechenden Forschungsergebnissen:

                              • Gemeinsam mit Merton Miller formulierte er das Modigliani-Miller Theorem, welches den Einfluss des Verschuldungsgrades eines Unternehmens auf dessen Kapitalkosten beschreibt. Das erste Theorem von Modigliani und Miller basiert auf der Aussage, dass es keine Steuern, keine Insolvenzkosten, keine asymmetrischen Informationen und einen vollkommenen Kapitalmarkt gibt, über den ein Unternehmen finanziert ist, dann ist der Marktwert des Unternehmens unabhängig von der Finanzierungsform des Unternehmens – aber insbesondere auch unabhängig vom Verschuldungsgrad des Unternehmens. Da diese Voraussetzungen in der Praxis nie zutreffen, kann hieraus abgeleitet werden, dass man den Einfluss der oben skizzierten Determinanten überprüfen muss, wenn die Kapitalstruktur des Unternehmens optimiert werden soll. Das zweite Theorem baut auf dem ersten auf. Wenn das erste Theorem gilt und ein wir uns ein Unternehmen anschauen, dessen Passiva lediglich aus Passiva vorrangigen Fremdkapitals und nachrangigem Eigenkapital bestehen, dann ist der Eigenkapitalkostensatz des Unternehmens vom Verschuldungsgrad dieses Unternehmens linear abhängig. Des weiteren ist der Fremdkapitalkostensatz des Unternehmens vom Verschuldungsgrad dieses Unternehmens unabhängig und der Gesamtkapitalkostensatz des Unternehmens vom Verschuldungsgrad dieses Unternehmens unabhängig. Kurzum: Für Unternehmen gibt es keinen optimalen Verschuldungsgrad.

                              • Zum zweiten war Modigliani der Ideengeber der "life-cycle" Hypothese, welche die Sparrate in einer Volkswirtschaft erklärt. Nach der "Life-Cycle Hypothesis of Saving" (LCH) sparen rationale Akteure, um ihre verfügbaren Ressourcen gleichmäßig über die Lebenszeit zu verteilen. Optimal ist in Abhängigkeit von Zeitpräferenz und Realzins eine Konsumglättung über die gesamte Lebenszeit. Nach dieser Logik sparen Akteure während ihrer Erwerbsphase, um in der Rentenphase diese Ersparnisse dann vollständig zu verbrauchen. Akteure, die im Sinne der LCH sparen, betreiben also einen echten Konsumverzicht. 

                              Im Jahr 1962 wechselte er zum MIT und leitete dort ein Institut (MIT Sloan School of Management and MIT Department of Economics) und blieb dort bis zu seinem Tot im Jahr 2003. Bereits im Jahr 1985 erhielt Modigliani den Preis der schwedischen Reichsbank für Wirtschaftswissenschaften in Gedenken an Alfred Nobel "for his pioneering analyses of saving and of financial markets".

                              "[...] What accounts for the observed flow of bequests? One can distinguish two main motives which may also interact. The first is the precautionary motive arising from the uncertainty of the time of death. Indeed, in view of the practical impossibility of having negative net worth, people tend to die with some wealth, unless they can manage to put all their retirement reserves into life annuities. […] Undoubtedly, ‘adverse selection’, causing an unfavorable payout, and the fact that some utility may be derived from bequests are an important part of the answer. In the absence of annuities, the wealth left behind will reflect risk aversion and the cost of running out of wealth. [...]"

                              Weiterführende Literaturhinweise:

                              • Modigliani, Franco (2001): Adventures of an Economist. London/New York 2001.
                              • Fabozzi, Frank J./Franco Modigliani/Michael G. Ferri (1998): Foundations of Financial Markets and Institutions. Upper Saddle River 1998.
                              • Fabozzi, Frank J./Franco Modigliani (1996): Capital Markets: Institutions and Instruments. Upper Saddle River 1996.
                              • Modigliani, Franco/Andrew B Abel/Simon Johnson (1980): The Collected Papers of Franco Modigliani, Cambridge/Mass. 1980.
                              • Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz, deutscher Philosoph und Wissenschaftler

                                Gottfried Wilhelm Leibnitz gilt als einer der letzten Universalgelehrten und war wahrscheinlich der umfassendste Kopf, der an der Wende zum 17. zum 18. Jahrhundert forschte und philosophierte. Er hat sich mit statistischen und demographischen Fragestellungen beschäftigt und legte mit seinen Arbeiten den Grundstein zur heutigen Theorie der Entscheidungen unter Ungewissheit. Im Jahr 1682 begründete er die Kapitalwertberechnung.

                                Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz (* 1. Juli 1646 in Leipzig; † 14. November 1716 in Hannover)
                                Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz (* 1. Juli 1646 in Leipzig; † 14. November 1716 in Hannover)

                                Gottfried Wilhelm Leibnitz gilt als einer der letzten Universalgelehrten und war wahrscheinlich der umfassendste Kopf, der an der Wende zum 17. zum 18. Jahrhundert forschte und philosophierte. Er hat sich mit statistischen und demographischen Fragestellungen beschäftigt und legte mit seinen Arbeiten den Grundstein zur heutigen Theorie der Entscheidungen unter Ungewissheit. Im Jahr 1682 begründete er die Kapitalwertberechnung.

                                Leibniz wurde am 21. Juni (nach dem Gregorianischen Kalender erst am 1. Juli) 1646 in Leipzig geboren. Als Sechsjähriger verlor er seinen Vater Friedrich Leibniz, der Jurist und Professor für Moralphilosophie war, und wurde fortan von seiner Mutter erzogen. Er war eines der Wunderkinder, mit denen seine Zeit zu renommieren versuchte: Der achtjährige Leibniz soll anhand der umfangreichen väterlichen Bibliothek autodidaktisch die lateinische und die griechische Sprache gelernt haben. Im zarten Alter von zwölf Jahren soll er beim Durchdenken logischer Fragestellungen die Anfänge einer mathematischen Zeichensprache entwickelt haben. Nach der Schulzeit in Leipzig immatrikulierte er sich im Jahr 1661 an der Leipziger Universität und studierte dort und ab dem Jahr 1663 in Jena Philosophie sowie Rechts- und Naturwissenschaften. In Jena beschäftigte er sich – unter Anleitung des Mathematikers, Physikers und Astronomen Erhard Weigel – mit Pythagoras. An der Universität Altdorf bei Nürnberg erwarb er im Jahr 1667 mit 20 Jahren den Doktor der Rechte, weil er der Leipziger Fakultät zu jung war. Direkt im Anschluss an seine Promotion trat er – auf Empfehlung des Mainzer Diplomaten und Bibliothekars Johann Christian von Boineburg – in die Dienste des Mainzer Kurfürsten und späteren Mainzer Erzbischofs Johann Philipp von Schönborn. Dieser sandte ihn im Jahr 1672 nach Paris, wo Leibniz die führenden europäischen Intellektuellen kennen lernte. So lerne er bei Huygens die Methoden der modernen Mathematik. Es wird auch berichtet, dass er dem "Sonnenkönig" Ludwig XIV. einen Plan für einen kreuzzugsähnlichen Eroberungsfeldzug gegen Ägypten unterbreitete ("Consilium Aegyptiacum"), um die militärischen Energien Frankreichs nach Ägypten abzuleiten. Der König lehnte diesen Plan ab – über hundert Jahre später jedoch setzte Napoléon Bonaparte ihn dann doch um. 

                                Während dieser Zeit entwickelte Leibnitz auch eine Rechenmaschine, die multiplizieren, dividieren und die Quadratwurzel ziehen konnte. Nach seiner Rückkehr beschäftigte er sich verstärkt mit der Mathematik Pascals und Descartes’ und entwickelte – unabhängig von Isaac Newton – die Differential- und Integralrechnung. Isaac Newton hatte sein Prinzip der Infinitesimalrechnung bereits im Jahr 1666 entwickelt, jedoch nicht veröffentlicht. Leibniz veröffentlichte sein System im Jahr 1684, woraufhin Newton 1687 folgte, doch setzte sich das Leibnizsche Zeichensystem durch. So stammt von Leibniz die immer noch gebräuchliche Notation Leibnitz Notation in Differentialschreibweise und das Integralzeichen ∫dx .

                                Im Jahr 1676 trat er in die Dienste des Herzogs von Hannover und wurde Hofrat und Hofbibliothekar. Dieses Amt sollte er bis zu seinem Lebensende behalten. Als Jurist ordnete und disponierte er die Gesetze des Herzogtums neu.

                                Ab dem Jahr 1685 reiste Leibnitz durch Europa, da er im Auftrag des Welfenhauses eine Geschichte der Welfen schreiben sollte. In den Jahren 1678/79 setzte er sich mit den Fragen auseinander, wie das Wasser aus den Bergwerken im Harz gepumpt werden könne. Als Universalgelehrter beschäftigte er sich unter anderem mit Plänen für ein Unterseeboot, der Verbesserung der Technik von Türschlössern, einem Gerät zur Bestimmung der Windgeschwindigkeit, der Gründung einer Witwen- und Waisenkasse sowie dem Beweis für das Unbewusste des Menschen.

                                Im Jahr 1700 wurden nach Verhandlungen mit dem brandenburgischen Kurfürsten Friedrich III., dem späteren König Friedrich I., Pläne für eine Preußische Akademie der Wissenschaften nach englischem und französischem Vorbild in die Tat umgesetzt. Leibnitz wurde ihr erster Präsident und lieferte in der Folge bedeutende Beiträge zu Philosophie. Mit der Entdeckung, dass jede Zahl mit den Ziffern 0 und 1 dargestellt werden kann, lieferte er die Basis für das Dualsystem. Leibnitz entdeckte, dass sich Rechenprozesse viel einfacher mit einer binären Zahlencodierung durchführen lassen und verknüpfte die Prinzipien der Arithmetik mit den Prinzipien der Logik.

                                Weiterführende Literaturhinweise:

                                • Aiton, Eric J. (1991): Gottfried Wilhelm Leibniz, eine Biographie. Frankfurt a. M. 1991.
                                • Antognazza, Maria Rosa (2009): Leibniz: An Intellectual Biography, Cambridge University Press 2009.
                                • Finster, Reinhard/van den Heuvel, Gerd (2000): Gottfried Wilhelm Leibniz. Mit Selbstzeugnissen und Bilddokumenten, Reinbek bei Hamburg 2000.
                                • Hirsch, Eike Christian (2000): Der berühmte Herr Leibniz. Eine Biographie, München 2000.
                                • Jolley, Nicholas [Hrsg.] (1995): The Cambridge Companion to Leibniz, Cambridge 1995.
                                • Poser, Hans (2005): Gottfried Wilhelm Leibniz zur Einführung, Hamburg 2005.
                                • William Forsyth Sharpe, Mitbegründer des Capital Asset Pricing Model (CAPM)

                                  Geboren wurde William Forsyth Sharpe am 16. Juni 1934 in Cambridge (Massachusetts, USA). Seine Schulausbildung schloss er in Riverside (Kalifornien) ab: "I benefitted there from stimulating teachers and challenging curricula." Im Jahr 1951 schrieb sich Sharpe an der University of California in Berkeley ein, um Medizin zu studieren.

                                  William Forsyth Sharpe (* 16. Juni 1934 in Cambridge, Massachusetts, USA) [Bildquelle Nobel Foundation]

                                  William Forsyth Sharpe (* 16. Juni 1934 in Cambridge, Massachusetts, USA)

                                  Geboren wurde William Forsyth Sharpe am 16. Juni 1934 in Cambridge (Massachusetts, USA). Seine Schulausbildung schloss er in Riverside (Kalifornien) ab: "I benefitted there from stimulating teachers and challenging curricula." Im Jahr 1951 schrieb sich Sharpe an der University of California in Berkeley ein, um Medizin zu studieren. Nach einem Jahr in Berkeley stellte er jedoch fest, dass seine Präferenzen wohl woanders lagen. So wechselte er an die University of California nach Los Angeles und begann ein Studium der Betriebswirtschaft. 

                                  Im ersten Semester beschäftigte sich Sharpe vor allem mit Rechnungswesen und Volkswirtschaftslehre, wobei es ihm der letztere Bereich offensichtlich mehr angetan hatte. So sagte er beispielsweise zu den beiden Fächern: "Both had a major influence on my career. The accounting course dealt primarily with bookkeeping, while the economics course focused on microeconomic theory. I found bookkeeping tedious and light on intellectual content. But I was greatly attracted to the rigor and relevance of microeconomic theory."

                                  How to concentrate on essential elements and abstract from secondary ones

                                  Im Jahr 1956 schloss Sharpe sein Studium mit einem "Master of Arts" ab. Insbesondere zwei Lehrer hatten einen maßgeblichen Einfluss auf die Karriere von William Sharpe. Zum einen J. Fred Weston, ein Finanz-Professor an der Business School, bei dem er Kurse besuchte und für den er als Forschungsassistent arbeitete. Weston brachte ihm vor allem die Arbeiten von Harry Markowitz näher, welche die gesamte Finanzwelt revolutionären sollten. Des Weiteren hatte Armen Alchian, ein Ökonomie-Professor in Los Angeles einen großen Einfluss auf Sharpe. "He taught his students to question everything; to always begin an analysis with first principles; to concentrate on essential elements and abstract from secondary ones; and to play devil's advocate with one's own ideas. In his classes we were able to watch a first-rate mind work on a host of fascinating problems."

                                  Nachdem er einige Jahre bei der US-Armee war, wechselte er schließlich im Jahr 1956 als Volkswirt zur RAND Corporation. Die RAND Corporation ("Research ANd Development") ist eine Denkfabrik in den USA, die nach Ende des Zweiten Weltkriegs gegründet wurde, um die Streitkräfte der USA zu beraten. "RAND was an almost ideal place for anyone interested in performing research that was both aesthetically pleasing and also pragmatic. During this period path-breaking work in computer science, game theory, linear programming, dynamic programming and applied economics was being done at RAND, both by permanent staff and visitors from major universities."

                                  Doktorarbeit zur Portfolioanalyse

                                  Während seiner Zeit bei RAND schloss Sharpe im Jahr 1961 sein PhD in Economics an der Universität von Kalifornien ab. Fred Weston schlug vor, dass er vielleicht Harry Markowitz, der damals ebenfalls bei RAND, irgendwelche Ideen für gemeinsame Projekte hätte. In der Tat hatte Markowitz offensichtlich solche Ideen und Sharpe machte sich daran, zusammen mit ihm an der Portfolio-Theorie zu arbeiten. 

                                  In seiner Doktorarbeit beschäftige sich Sharpe dann auch mit verschiedenen Aspekten der Portfolioanalyse – basierend auf einem Modellansatz von Markowitz. Er nannte den Ansatz "single index model", heute eher bekannt unter dem Terminus "one-factor model". "Key is the assumption that security returns are related to each other solely through responses to one common factor. In the dissertation I addressed both normative and positive results. The final chapter (A Positive Theory of Security Market Behavior), included a result similar to that now termed the security market line relationship of the Capital Asset Pricing Model, but was obtained in the limited environment in which returns are generated by a one-factor model."

                                  Nobelpreis gemeinsam mit Merton H. Miller und Harry M. Markowitz

                                  Im Jahr 1961 wechselte Sharpe nach Seattle an die "School of Business" der University of Washington. Während dieser Zeit schrieb er einige Fachaufsätze – basierend auf den Ergebnissen seiner Doktorarbeit. So reichte er unter anderem bei der Redaktion des "Journal of Finance" einen Fachbeitrag ein, der jedoch zunächst abgelehnt wurde. 

                                  Schließlich wurde der Beitrag im September 1964 doch veröffentlicht (Capital Asset Prices – A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk, in: The Journal of Finance, Vol. XIX, No. 3, September 1964, pp. 425-442.). Dieses Papier lieferte die Basis für das Capital Asset Pricing Model (CAPM). Das CAPM ist ein Kapitalmarktgleichgewichtsmodell, das die Portfoliotheorie um die Frage erweitert, welcher Teil des Gesamtrisikos eines Investitionsobjekts nicht durch Diversifikation zu beseitigen ist und erklärt, wie risikobehaftete Anlagemöglichkeiten im Kapitalmarkt bewertet werden.

                                  Im Jahr 1970 wechselte Sharpe an die Stanford University Graduate School of Business. Später sagte er über diese Zeit: "My years at Stanford have been all that anyone with interests in both research and teaching could have desired. Throughout, I have had the benefit of stimulating colleagues and students. Much of my knowledge of finance was gained when I participated in a team of three, teaching the first PhD seminar in the field at Stanford in the early 1970's. Alan Kraus, Bob Litzenberger and I shared not only our experience and knowledge but also an interest in sailing – a sport in which we indulged fairly frequently." Im Jahr 1973 wurde Sharpe zum "Timken Professor of Finance" ernannt, im Jahr 1989 wurde er dann "Timken Professor Emeritus of Finance".

                                  Sharpe erhielt im Jahre 1990 gemeinsam mit Merton H. Miller und Harry M. Markowitz den Preis der schwedischen Reichsbank für Wirtschaftswissenschaften in Gedenken an Alfred Nobel für seine Forschungen auf dem Gebiet der Preisbildungstheorie im Kapitalmarkt.

                                  Außerdem entwickelte Sharpe die "Sharpe-Ratio", eine Kennzahl, die darüber Auskunft gibt, wie stark die Rendite einer Geldanlage über dem risikofreien Zinssatz lag und bei welcher Volatilität diese Rendite erzielt wurde. Mit der Sharpe-Ratio kann in einer ex-post-Betrachtung ein Vergleich zwischen verschiedenen Geldanlagen vorgenommen werden, indem die Überrendite pro Einheit Risiko gemessen wird. Als Maß für das Risiko wird dabei die Volatilität der Renditen verwendet, wobei in die Berechnung der Volatilität alle Renditen eingehen.

                                  Sharpe-Ratio als Risikoindikator

                                  Wenn also beispielsweise ein Anleger die Wahl zwischen zwei Fonds hat, die beide in den vergangenen drei  Jahren eine jährliche Rendite von 15 Prozent erzielt haben, so dürfte er den Fonds bevorzugen, der diese Rendite mit der geringeren Schwankungsbreite der Wertentwicklung, gemeint ist hier die Volatilität, erreichte. Hier fällt die Entscheidung also relativ leicht. Muss der Anleger aber zwischen zwei Fonds wählen, von denen der eine zwar etwas schwächer in der Rendite, aber eben auch etwas weniger risikobehaftet ist, so gibt die Sharpe-Ratio die notwendige Hilfestellung. Zunächst einmal enthält sie im Zähler die sogenannte Überschussrendite. Darunter versteht man die über die sichere Geldmarktanlage hinausgehende Rendite. Wenn also der risikolose Geldmarkt drei Prozent und der ausgewählte Fonds zehn Prozent abgeworfen haben, so hat letzterer eine Überschussrendite von sieben Prozent. Diese wird ins Verhältnis gesetzt zum Risiko, ausgedrückt als Volatilität

                                  Eine deutlich positive Sharpe-Ratio, also eine deutlich größer eins, zeigt an, dass gegenüber der risikolosen Geldmarktanlage eine Mehrrendite erwirtschaftet wurde. Zum anderen zeigt sie, in welchem Verhältnis diese Mehrrendite zum eingegangenen Risiko steht. Umgekehrt verdeutlicht eine negative Sharpe-Ratio kleiner Null, dass noch nicht einmal die Geldmarktverzinsung übertroffen wurde. Während bestimmter Phasen gibt es durchaus Märkte, in denen trotz eingegangenen Risikos keine angemessene Wertentwicklung zu erzielen ist. Unterscheiden sich also zwei Fonds sowohl in der erzielten Rendite als auch in der Volatilität, sollte unter sonst gleichen Bedingungen der Fonds mit der höheren Sharpe-Ratio bevorzugt werden. 

                                  Weiterführende Literaturhinweise:

                                  • FAZ Börsenlexikon (<link http://boersenlexikon.faz.net/>http://boersenlexikon.faz.net/</link>;)
                                  • Sharpe, W. F. (1964):&nbsp; Capital Asset Prices - A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk, in: The Journal of Finance, Vol. XIX, No. 3, September 1964, pp. 425-442.)
                                  • Sharpe, W. F. (1970):&nbsp; Portfolio Theory and Capital Markets, McGraw-Hill Book Company, New York, 1970.
                                  • Sharpe, W. F. (1994): The Sharpe Ratio, in: Journal of Portfolio Management, Fall 1994, pp. 49-58.
                                  • Robert J. Shiller, (Mit-)Begründer der "Behavioural Finance"

                                    Bekannt geworden ist Rober J. Shiller vor allem als Begründer des Forschungsgebiets "Behavioural Finance", das sich unter anderem mit dem irrationalen menschlichen Verhalten in wirtschaftlichen Situationen auseinandersetzt. Sie versucht vor allem die Annahme des Homo oeconomicus, also rational denkender Menschen, aufzulösen. Das beobachtete Verhalten widerspricht in der Regel den Vorhersagen klassischer ökonomischer Modelle, weshalb "Behavioural Finance" eine Erklärung für dieses irrationale Verhalten sucht.

                                    Robert James Shiller (* 29. März 1946 in Detroit) [Bildquelle: Yale University]
                                    Robert James Shiller (* 29. März 1946 in Detroit) [Bildquelle: Yale University]

                                    "[…] Weitere kapitalistische Institutionen sind Risikomanagementsysteme, die Versicherungen, Hedging und Streuung anbieten. Der Staat kann die Demokratisierung solcher Institutionen fördern, sodass sie vor genau den Risiken schützen, die den Menschen die größten Sorgen bereiten. Möglich sind etwa Versicherungen, die den Lebensunterhalt oder den Wert einer Wohnimmobilie absichern, Kredite, die an das Einkommen, oder Wertpapiere, die an das BIP oder Hauspreise gekoppelt sind. [...]

                                    Zudem kann der Staat die Sozialversicherung (die die private Versicherung ergänzt) anreizkompatibler und besser im Risikomanagement machen – und das nicht nur für die Risiken der extremen Verlierer. Er könnte etwa das Steuersystem an einer Messgröße der Einkommensungleichheit indexieren. Zudem könnte er unsere Informationsinfrastruktur verbessern, sodass Finanzverträge die Ergebnisse wirtschaftlicher Risiken besser widerspiegeln können. [...]" (Quelle: FTD, 30.4.2007)

                                    Bekannt geworden ist Rober J. Shiller vor allem als Begründer des Forschungsgebiets "Behavioural Finance", das sich unter anderem mit dem irrationalen menschlichen Verhalten in wirtschaftlichen Situationen auseinandersetzt. Sie versucht vor allem die Annahme des Homo oeconomicus, also rational denkender Menschen, aufzulösen. Das beobachtete Verhalten widerspricht in der Regel den Vorhersagen klassischer ökonomischer Modelle, weshalb "Behavioural Finance" eine Erklärung für dieses irrationale Verhalten sucht. Sie überträgt Einsichten der Psychologie und anderer Gesellschaftswissenschaften auf die Welt des Geldes und behebt damit eine grundlegende Schwäche dieser von der Mathematik dominierten Disziplin: der Vernachlässigung des Menschen.

                                    Bereits im März 2000, also ziemlich genau auf dem Höhepunkt des Technologiefiebers an den Finanzmärkten, warnte Shiller die Welt vor den Gefahren einer spekulativen Blase. Von vielen Kapitalmarktteilnehmern wurde er zum Verräter der weltweiten Finanzmärkte stilisiert, später dann zum Orakel.

                                    Seine Schlussfolgerung hinsichtlich der Volatilitäten der Märkte lautet: Wenn ein Aktienkurs der geschätzte Wert einer "Größe" (etwa der diskontierten Cashflows eines Unternehmens) ist, unterliegen die Börsenkurse gegenüber den physisch greifbaren Ausprägungen dieser "Größe" (beispielsweise Dividenden) großen Schwankungen. Kurzum: Die Aktienkurse zeigen höhere Ausschläge als die Fundamentaldaten, die sie ja angeblich präsentieren sollen. Von Zeit zu Zeit erleben sie sogar klare Überreaktionen in Form von übermäßigen Kurssteigerungen bzw. übermäßigen Kursstürzen. Das Volatilitätsgefälle zwischen Kursen und Informationen hat laut Shiller zur Folge, dass das Konzept der "rationalen Erwartungen" in irgendeiner Art und Weise nicht zutrifft. 

                                    Mit anderen Worten: Die Kurse spiegeln den langfristigen Wert eines Wertpapiers nicht rational wider, weil sie in jeder Richtung Übertreibungen unterliegen. "Menschen sind keine Computer und trotz gegenteiliger Behauptungen vieler Wirtschaftstheoretiker weder endlosen Berechnungen noch zur präzisen Erkenntnis eigener Interessen fähig", so Robert J. Shiller in seinem Buch "Die neue Finanzordnung".

                                    Shiller zeigt auf, das die Märkte nicht so effizient sind, wie die klassische Finanztheorie es uns glauben machen will. Hierfür wurde er von vielen wissenschaftlichen Kollegen kritisiert, so unter anderem von Robert C. Merton, der im Jahr 1990 gemeinsam mit Myron S. Scholes den Preis der schwedischen Reichsbank für Wirtschaftswissenschaften in Gedenken an Alfred Nobel für seine Forschungen auf dem Gebiet der Bestimmung von Optionswerten an der Börse erhielt. Merton verteidigte die offizielle Position der Finanztheorie, dass Märkte effizient sein mussten und "unmöglich Chancen auf einem Silbertablett servieren könnten." Einige Jahre später präsentierte sich aber der gleiche Robert C. Merton als Gründer des Hedgefunds Long-Term Capital Management (LTCM), der genau darauf abzielte, Renditen aus Marktineffizienzen zu ziehen.

                                    Eine Lektion der verhaltsorientierten Finanztheorie ist für Shiller besonders wichtig: Die psychische Disposition und die Darstellung des Problems sind für das Risikomanagement entscheidend. So kann in psychologischen Experimenten nachgewiesen werden, dass Menschen quantitative Einschätzungen von einer Größe – dem Anker – anhängig machen, die ihnen gerade vor Augen schwebt, selbst wenn diese für die konkrete Fragestellung völlig irrelevant ist. Außerdem konnten Psychologen zeigen, dass Menschen entscheidende Risiken ignorieren, sich jedoch irrational große Sorgen um Kleinigkeiten machen. "Das stellt die Gestaltung von Risikomanagement-Instrumenten vor eine große Herausforderung, denn diese müssen so präsentiert werden, dass die Menschen den potenziellen Nutzen auch wahrnehmen", so Shiller. Die Neigung, mehr oder weniger irrelevante Risiken ungebührlich viel Aufmerksamkeit zu widmen, ist der Schlüssel zur Theorie von Robert J. Schiller. 

                                    In seiner wissenschaftlichen Karriere beschäftige sich Shiller vor allem immer mit der Anwendung moderner Risikovorsorge auf unser tägliches Leben. So ist Shiller davon überzeugt, dass eine neue Kultur des Risikomanagements es uns ermöglicht, die vorhandenen ökonomischen Institutionen so zu vernetzen, dass sie Wohlstandsmotor und Sicherheitsnetz in einem werden. Insbesondere die moderne Informationstechnologie wird zu einer Professionalisierung der Risikomanagement-Systeme ganz wesentlich beitragen. So wie die Risikomanagement-Systeme vom Geld als Tauschmittel abhängen, so hängen auch Märkte von einem Transaktionsmedium ab. Je tiefer die Transaktionskosten – insbesondere in der Folge der modernen Informationstechnologie – sinken, desto größer wird das Volumen der handelbaren Risiken.

                                    "Die moderne Informationstechnologie versorgt uns mit zahlreichen Informationen zu Risiken und den sich daraus ergebenden wirtschaftlichen Ungerechtigkeiten. Dank dieser Informationsfülle stehen die Wirtschaftswissenschaften heute da, wo die Astronomie ungefähr zum Zeitpunkt der Erfindung des Teleskops oder die Biologie unmittelbar nach der Erfindung des Mikroskops stand. Wir verstehen viel besser, warum manche Menschen erfolgreich sind und andere kläglich scheitern." Die technischen Fortschritte im Bereich der Informationstechnologie stellen das Rohmaterial für Innovationen bereit, die das Finanzwesen revolutionieren wird.

                                    Weiterführende Literaturhinweise:

                                    • Kahneman, Daniel/Paul Slovic/Amos Tversky (1982): Judgment Under Uncertainty. Heuristics and Biases, Cambridge 1982.
                                    • Shiller, Robert J. (2003): The New Financial Order, Princeton 2003.
                                    • Shiller, Robert J. (2000): Irrational Exuberance, Princeton 2000.
                                    • Taleb, Nassim Nicholas (2005): Narren des Zufalls – die verborgene Rolle des Glücks an den Finanzmärkten und im Rest des Lebens, Weinheim 2005.

                                    • Hans-Werner Sinn, Ökonom und Präsident des Münchener Ifo-Instituts

                                      Hans-Werner Sinn gilt als einer der einflussreichsten und international anerkanntesten marktliberalen Wirtschaftswissenschaftler Deutschlands. Es ist jedoch weit weniger bekannt, dass er nach dem Studium der Volkswirtschaftslehre an der Westfälischen Wilhelms-Universität in Münster im Jahr 1978 an der Universität Mannheim sein Doktorarbeit über das Thema "Ökonomische Entscheidungen bei Ungewissheit" geschrieben hat.
                                      Hans-Werner Sinn (* 7. März 1948 in Brake, Westfalen) ist ein deutscher Ökonom, Hochschullehrer und war in den Jahren 1999 bis 2016 Präsident des ifo Instituts für Wirtschaftsforschung [Bildquelle: ifo Institut]

                                      Hans-Werner Sinn (* 7. März 1948 in Brake, Westfalen) ist ein deutscher Ökonom, Hochschullehrer und war von 1999 bis 2016 Präsident des ifo Instituts für Wirtschaftsforschung.

                                      "[...] Die ideale Versicherung tauscht Wahrscheinlichkeitsverteilungen des individuellen Einkommens oder Vermögens gegen sichere Beiträge von der Höhe der mathematischen Erwartungen der Verteilungen ein. Diese Funktion ist nützlich, weil Menschen eine Abneigung gegen Ungewissheit haben. […] Das Bedürfnis nach Sicherheit ist eines der fundamentalen Kennzeichen der menschlichen Präferenz, und die Existenz des  Versicherungssektors leitet sich aus der Aufgabe ab, es zu befriedigen. [...]"

                                      Hans-Werner Sinn gilt als einer der einflussreichsten und international anerkanntesten marktliberalen Wirtschaftswissenschaftler Deutschlands. Es ist jedoch weit weniger bekannt, dass er nach dem Studium der Volkswirtschaftslehre an der Westfälischen Wilhelms-Universität in Münster im Jahr 1978 an der Universität Mannheim sein Doktorarbeit über das Thema "Ökonomische Entscheidungen bei Ungewissheit" geschrieben hat. Seine Arbeit wurde mit dem ersten Preis der Universität Mannheim für Dissertationen ausgezeichnet (Stiftung Rheinische Hypothekenbank).

                                      Sinn weist in seiner Arbeit darauf hin, dass sich Entscheidungssituationen der Realität in zwei Kategorien unterteilen lassen, "nämlich solche, in denen Vermutungen über Tatsachen genutzt werden, und solche in denen das Ergebnis tatsächlich nicht determiniert ist."

                                      Nach Hans-Werner Sinn können die verschiedenen Unsicherheitsgrade immer auf den Fall einer "sicher bekannten objektiven Wahrscheinlichkeit" zurückgeführt werden:

                                      • Bei an sich unsicheren Wahrscheinlichkeitsangaben, können Wahrscheinlichkeiten höherer Stufen genutzt werden.
                                      • Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Wahrscheinlichkeiten lassen sich auf objektive Wahrscheinlichkeit erster Stufe umrechnen.
                                      • Ist keinerlei Wahrscheinlichkeit bekannt, so kann eine mit Sicherheit bekannte Gleichverteilung unterstellt werden.

                                      Hieraus kann gefolgert werden, dass im Risikomanagement grundsätzlich alle Risiken zu quantifizieren sind, auch wenn nur subjektive Schätzungen verfügbar sind. Auch subjektiv geschätzte Risiken können genau so verarbeitet werden, wie (vermeintlich) objektiv quantifizierte. Man muss sich hier immer über die Alternativen klar sein: Die quantitativen Auswirkungen eines Risikos mit den best verfügbaren Kenntnissen (notfalls subjektiv) zu schätzen, oder die quantitativen Auswirkungen implizit auf Null zu setzen und damit den Risikoumfang zu unterschätzen. Insgesamt ist damit klar: Nur die Quantifizierung von Risiken schafft einen erheblichen Teil des ökonomischen Nutzens des Risikomanagements zur Unterstützung von Entscheidungen unter Unsicherheit. Die scheinbare Alternative einer Nicht-Quantifizierung von Risiken existiert sowieso nicht, da nicht quantifizierte Risiken kaum etwas anderes sind als mit Null quantifizierte Risiken.

                                      Hans-Werner Sinn wechselte im Jahr 1974 nach seinem Volkswirtschaftsstudium nach Mannheim und promoviert dort. Nach der Promotion geht Sinn für ein Jahr als Junior-Professor an die University of Western Ontario nach Kanada. Wieder zurück in Deutschland habilitiert er an der Universität Mannheim und wird im Jahr 1984 an der Universität München Professor für Finanzwissenschaften. Sieben Jahre später will ihn die Uni Bern abwerben. Sinn bleibt in Deutschland, als er es schafft, sich in München sein eigenes Institut, das "Center for Economic Studies" (CES), auszuhandeln. Im Februar 1999 wird er zudem Präsident des Münchener Ifo-Instituts für Wirtschaftsforschung und baut mit der CES-Ifo GmbH eine Brücke zwischen CES und Ifo. In den Jahren 1997 bis 2000 war Sinn Vorsitzender des Vereins für Socialpolitik. Die Amtszeit von Hans-Werner Sinn als ifo-Präsident endete im März 2016, als er 68 Jahre alt wurde und in den Ruhestand trat. Seit dem Jahr 2017 ist er "ständiger Gastprofessor" an der Universität Luzern.

                                      In den vergangenen Jahren und aktuell beschäftigt sich Hans-Werner Sinn vor allem mit dem Euro, Griechenland, der Europäischen Zentralbank, grüner Energie, der Demographie und der Migration.

                                      Weiterführende Literaturhinweise:

                                      • Sinn, Hans-Werner (1980): Ökonomische Entscheidungen bei Ungewißheit, Tübingen 1980.
                                      • Sinn, Hans-Werner (2005): Die Basar-Ökonomie, Berlin 2005.
                                      • Sinn, Hans-Werner (2005): Der Kasino-Kapitalismus, Berlin 2009.
                                      • Sinn, Hans-Werner (2012): Die Target-Falle - Gefahren für unser Geld und unsere Kinder, München 2012.
                                      • Sinn, Hans-Werner (2013): Verspielt nicht eure Zukunft, München 2013.
                                      • Sinn, Hans-Werner (2014): Gefangen im Euro, München 2014.
                                      • Sinn, Hans-Werner (2015): Der Euro: Von der Friedensidee zum Zankapfel, München 2015.
                                      • Sinn, Hans-Werner (2016): Der Schwarze Juni - Brexit, Flüchtlingswelle, Euro-Desaster - Wie die Neugründung Europas gelingt, München 2016.