Kurs: Methoden des Risk Managements

Bei Banken und auch Versicherungen hat die Risiko-Kennzahl "Value at Risk" seit Mitte der 90er Jahre einen fast kultartigen Status erreicht. In den letzten Jahren wird sie auch vermehrt in anderen Branchen und Risikobereichen angewendet. Übersetzt man "Value at Risk" wörtlich, so erhält man den "gefährdeten Wert" oder das "Vermögen das einem Risikoausgesetzt ist". Doch was steckt genau hinter dieser Kennzahl? Inwieweit ist sie geeignet, ein Risiko korrekt zu bewerten?

Der VaR zum Konfidenzniveau 1-α ist das α-Quantil der Verteilung der Wertveränderung (Gewinne und Verluste) einer Risikoposition über die Haltedauer. Der VaR ist ein Downside-Risikomaß, das nur der Messung potenzieller Verluste dient ("downside risk"), das heißt nur das "negative Ende" der Wahrscheinlichkeitsverteilung fließt in die Analyse ein.

Warum Value at Risk?

Bei Banken und auch Versicherungen hat die Risiko-Kennzahl "Value at Risk" seit Mitte der 90er Jahre einen fast kultartigen Status erreicht. In den letzten Jahren wird sie auch vermehrt in anderen Branchen und Risikobereichen angewendet. Übersetzt man "Value at Risk" wörtlich, so erhält man den "gefährdeten Wert" oder das "Vermögen das einem Risikoausgesetzt ist". Doch was steckt genau hinter dieser Kennzahl? Inwieweit ist sie geeignet, ein Risiko korrekt zu bewerten?

Die statistischen Bewertungskonzepte des Risikomanagements sind vielfältig: Sie reichen von einfachen Checklisten über die Extremwert-Theorie bis zu neuronalen Netzen. Insbesondere die Finanzdienstleister haben in den vergangenen Jahrzehnten ausgefeilte statistische und mathematische Methoden zur risikoadäquaten Berechnung der Prämien entwickelt.

Viele "Finanzingenieure" unterliegen jedoch dem Trugschluss, man könne die komplexe (Wirtschafts-)Welt mit einer Maschine vergleichen, die nach klaren Ursache-Wirkungsketten funktioniert und daher mit bestimmten interdependenten Verhaltensgleichungen auch modelliert werden kann. Trotz aller Fehlprognosen überwiegt der Charme einer Risikoaussage mit einem konkreten Zeithorizont, Risikobetrag und einer Wahrscheinlichkeit. Vor diesem Hintergrund hat sich in den vergangenen Jahren der Value at Risk als "Standard-Risikomaß" herausgebildet.

Die Geburtsstunde des Value at Risk

Dennis Weatherstone verlangte während seiner Zeit als Vorsitzender der US-amerikanischen Investmentbank J.P. Morgan täglich um 16.15 Uhr einen einseitigen Risiko-Bericht, in dem das gesamte Marktexposure des Handelsbestandes der Bank sowie eine Schätzung der möglichen Verluste in den folgenden 24 Stunden dargestellt waren. Weatherstone war es einfach leid, dass die Marktrisiken der verschiedenen Finanzinstrumente mit unterschiedlichen Methoden gemessen wurden. Sein bisheriger Report enthielt eine Unmenge von Beta-Faktoren und Volatilitäten, gearing factors, Deltas, Gammas und Thetas. Er wollte ein einheitliches Risiko-Maß für alle Finanzinstrumente haben.

Dies war die Geburtsstunde des "Report 4.15". Im Oktober 1994 veröffentlicht J.P. Morgan sein Produkt RiskMetrics™ und stellten es allen Interessenten unentgeltlich zur Verfügung (www.jpmorgan.com/). Im Kern basiert dieses Produkt auf einer Methodik, die als "Value at Risk" bezeichnet wurde.

Definition und Berechnung des Value at Risk

Definiert wird der Value at Risk als der absolute Wertverlust einer im Unternehmen definierten Risiko-Position, der mit einer zuvor definierten Wahrscheinlichkeit(Konfidenzniveau) innerhalb eines fest bestimmten Zeitraums (Halteperiode) nicht überschritten wird [von Balduin 2003, S. 41 sowie Romeike/Hager 2009, S. 203 und Romeike/Hager 2013, S. 191].

In der folgenden Abbildung wird der Value at Risk dargestellt. Von den simulierten Vermögenswerten liegen 90 Prozent in dem Intervall zwischen 374.174 und 404.905 EUR. Je 5 Prozent liegen drüber oder drunter. In der Regel wird ein noch höherer Vermögenswert nicht als Risiko ("downside risk") angesehen, so dass die 5 Prozent extrem guten in die Wahrscheinlichkeit eingerechnet werden, mit der eine Verlustmarke nicht unterschritten werden kann. In dem konkreten Beispiel lautet die Aussage: Mit 95 Prozent Wahrscheinlichkeit wird das Vermögen nicht unter den 374 TEUR liegen.

Der Value at Risk als Standardrisikomaß

Für die Berechnung des Value at Risk müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein:

Die Risiken müssen in Einzelkategorien zerlegt und mit einer geeigneten Verteilungsfunktion beschrieben werden,

die Abhängigkeiten zwischen den Risiken sollten bekannt sein bzw. geschätzt werden können,

die Eigenschaften der Risiken müssen im Zeitablauf einigermaßen stabil und prognostizierbar sein (Extremszenarien werden nicht berücksichtigt),

es muss eine gesicherte Datenbasis vorhanden sein.

Zur Messung des Value at Risk kann man grundsätzlich zwischen zwei verschiedenen Ansätzen unterscheiden: Einem analytischen Ansatz und einem Simulationsansatz [vgl. Eisele/Knobloch 2000, 160f.].

Analytische Ansätze und Simulationsansätze zur Berechnung des VaR

Diese beiden Ansätze unterscheiden sich im Wesentlichen in zwei Punkten, nämlich der Modellierung der Entwicklung der Risikofaktoren und der Sensibilität der betrachteten Portfolios bzw. Positionen. Während im Rahmen des analytischen Ansatzes das Modell auf der Grundlage von bekannten Zusammenhängen und Beziehungen zwischen den einzelnen Variablen mit Hilfe einer Verteilungsannahme gebildet wird, errechnet sich der Value at Riskbeim Simulationsansatz anhand der Simulation verschiedener Zustandsentwicklungen.

Die Historische Simulation bedient sich dabei vergangenheitsbezogener Daten. Hierbei wird unterstellt, dass alle Risikofaktoren aus der Vergangenheit auch in Zukunft den Wert der Risikoposition in gleicher Weise beeinflussen werden. Die Historische Simulation ist wegen ihres geringen mathematischen Anspruchs einfach zu implementieren. Die Anwender müssen sich nicht mit der Messung von Volatilitäten und Korrelationen auseinandersetzen. Es werden auch keine Kenntnisse von Loga¬rithmus, e-Funktion, Matrizenmultiplikation oder gar der Simulation von Zufallszahlen benötigt. Der Einfachheit des Ansatzes steht die Beschränkung auf die Vergangenheit gegenüber, was von Kritikern häufig mit dem Lenken eines Autos durch den Blick in den Rückspiegel verglichen wird. Ist der gewählte historische Zeitraum nicht repräsentativ für die Zukunft, schlägt das Modell fehl. Ebenso können keine Ereignisse simuliert werden, die zwar möglich aber noch nie beobachtet worden sind.

Die stochastische Simulation (siehe Monte-Carlo-Methode bzw. Monte-Carlo-Simulation) basiert nicht auf historischen Werten, sondern auf einer stochastischen Variation der unterschiedlichen Modellparameter. Im Rahmen dieses stochastischen Ansatzes werden neben den einzelnen Risiko-Positionen und ihren Einflussfaktoren auch die Korrelationen zu anderen Risiko-Positionen berücksichtigt.

Die stochastische Simulation gilt wegen ihrer Flexibilität gegenüber anderen Verfahren als überlegen, insbesondere bei der Risikomessung von komplexen Exposures wie sie beispielsweise aus Derivaten resultieren. Die Monte Carlo Simulation kann beliebige Verteilungen, Restlaufzeitverkürzungseffekte, Volatilitätsclustering, fat tails, nichtlineare Exposures und Extremszenarios in der Risikoberechnung berücksichtigen. Als Nachteile sind der hohe Rechenaufwand und die Komplexität der eingesetzten statistischen Verfahren zu nennen.

Dem gegenüber hat das analytische Verfahren eine je nach Anwendungsfall ähnliche Komplexität, erzeugt jedoch deutlich weniger Rechenaufwand. Der sogenannte Varianz-Kovarianz-Ansatz weist aber den häufig kritisierten Nachteil auf, dass für alle Risikofaktoren eine Normalverteilung unterstellt wird. Für die Praxis kann das Varianz-Kovarianz-Modell als erste schnelle Lösung dienen, um beispielsweise einen groben Eindruck von den aktuell bestehenden Risiken zu erhalten.

Grenzen des Value at Risk

Wie jede Modellbildung stellt auch die Berechnung des Value at Risk eine Gradwanderung zwischen Komplexität und Genauigkeit dar. So bauen etwa die analytischen Bewertungskonzepte auf normalverteilten Einzelrisiken auf, da die entstehenden Modelle ansonsten zu komplex und dadurch nicht mehr handhabbar wären. Ähnliche Kompromisse müssen auch bei den Verfahren der Historischen und der Monte Carlo Simulationeingegangen werden. Hier wird zwar in der Regel auf die Annahme der Normalverteilungverzichtet, allerdings kann naturgemäß nur eine endliche Auswahl der unendlichen Anzahl möglicher Entwicklungen und Umweltgegebenheiten berücksichtigt werden. Einerseits stellen diese Vereinfachungen und Einschränkungen eine notwendige Voraussetzung dar, um die Berechnung überhaupt durchführen zu können. Andererseits führen sie aber auch zu Ungenauigkeiten, da das Modell immer unvollständig bleiben muss.

Neben diesen methodischen Defiziten, die zwangsläufig in Kauf zu nehmen sind, wird auch die ökonomische Interpretation der Kennzahl Value at Risk häufig kritisiert. Als Ergebnis der Berechnungen wird ein Wert angegeben, der mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit von beispielsweise 95 Prozent nicht überschritten wird. Bei einer solchen Definition werden jedoch die Risiko-Werte mit einer Wahrscheinlichkeit von größer 95 bis 100 Prozent nicht berücksichtigt. Würde man das Konfidenzniveau auf 99,5 Prozent erhöhen, könnte eine größere Anzahl an Szenarien abgebildet werden, eine unbekannte Restgröße mit einer sehr geringen Eintrittswahrscheinlichkeit würde jedoch auch hier erhalten bleiben (0,5 Prozent). Allgemein formuliert kann das β-Perzentil auch als 200-Jahresereignis interpretiert werden. Bei einem 200-Jahresereignis geht es um ein Schadenereignis, welches im Mittel alle 200 Jahre auftreten wird.

Dabei wird keinerlei Aussage über die Periodizität getroffen, das heißt das Schadensereignis muss nicht in Zeitintervallen von 200 Jahren auftreten. Es kann auch beispielsweise fünf Mal hintereinander eintreten, danach lange Zeit nicht mehr und die Modellannahme war trotzdem richtig. Ebenso ist die Wahrscheinlichkeitsaussage mit einer eigenen Irrtumswahrscheinlichkeit belegt, so dass in einem Modellbacktesting von der Wahrscheinlichkeit in berechneten Bandbreiten nach unten und oben abweichende Beobachtungen zulässig sind ohne dass das Modell abgelehnt werden könnte.

Risikomaß für Sonnenwetter und Schlechtwetter

Etwas überspitzt kann gesagt werden, dass der Value at Risk damit genau den Bereich der Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht betrachtet, die für das Überleben eines Unternehmens (und damit für das Risikomanagement) besonders relevant ist. Damit kann der Value at Risk auch als Schönwetter-Risikomaß interpretiert werden.

Während für Weatherstone der Ein-Prozent-Wahrscheinlichkeitsbereich akzeptabel war, sollte man vorsichtig sein, dies auch auf Kreditrisiken, Derivate oder operationelle Risiken zu übertragen. Gerade die Ereignisse des 11. September 2001, die Flutkatastrophe vom August 2002 in Mittel- und Osteuropa oder das Tōhoku-Erdbeben im Jahr 2011haben gezeigt, dass gerade diese "low frequency, high severity"-Ereignisse (Extremereignisse) fatale Auswirkungen haben können.

Ergänzende Methoden wie die Szenarioanalyse oder die Extremwerttheorie (Extreme Value Theory) können helfen, diese Informationslücke bei der Risikoquantifizierung zu minimieren. Außerdem bietet der Werkzeugkasten des Risikomanagements alternative Risikomaße, wie beispielsweise den Expected Shortfall (ES). Der ES wird auch als "conditional value at risk" (CVaR), "average value at risk" (AVaR) oder "expected tail loss" (ETL) bezeichnet. Des ES zählt wie der VaR zu den Downside-Risikomaßen und ist definiert als der erwartete Verlust für den Fall, dass der VaR tatsächlich überschritten wird. Somit ist er der wahrscheinlichkeitsgewichtete Durchschnitt aller Verluste, die den VaR-Wertübertreffen. Es werden daher nur die Verluste betrachtet, die über den VaR hinausgehen.

Unter den Lower Partial Moments (LPM) werden Risikomaße verstanden, die sich als Downside-Risikomaß nur auf einen Teil der gesamten Wahrscheinlichkeitsdichte beziehen. Sie erfassen nur die negativen Abweichungen von einer Schranke bzw. Zielgröße, werten hier aber die gesamten Informationen der Wahrscheinlichkeitsverteilung aus (bis zum theoretisch möglichen Maximalschaden.

Das Phänomen Risiko weist zahlreiche Facetten auf, denen man nur mit einem Portfolio an Methoden zur Identifikation und Quantifizierung gerecht werden kann. Risikomanagementkann nie die Suche nach einem einzigen, "optimalen" methodischen Ansatz sein. Ein Risiko-Messsystem, dass uns "blind" gegenüber anderen, vom Modell nicht erfassten Risiken macht, suggeriert uns eine falsche Sicherheit vor und ist daher auch als Risiko-Überwachungssystem fragwürdig.

Weiterführende Literaturhinweise:

Balduin, A. von (2003): Operational Value at Risk – Ein Ansatz für das Management von Operationellen Risiken, RiskNews 01/2003.

Bankhofer, U. et al (1999): Mathematische Methoden in der Versicherungswirtschaft – eine empirische Studie, Arbeitspapiere zur Mathematischen Wirtschaftsordnung, Augsburg 1999.

Eisele, W./Knobloch, A. P. (2000): Value at Risk: Tool for Managing Trading Risk, in: Frenkel, M.; Hommel, U.; Rudolf, M.: Riskmanagement – Challenge and Opportunity, Heidelberg 2000, S. 155-179.

Hager, P. (2004): Corporate Risk Management – Value at Risk und Cash Flow at Risk, Frankfurt/Main 2004.

Leippold, M. (1998): Value at Risk – Standard mit Schönheitsfehler, Schweizer Bank 08/1998.

Romeike, F. (2009): Was ist der "Value at Risk"? Oder besser: Was ist er nicht?, in: Risk, Compliance & Audit (RC&A), 03/2009, S. 10-11.

Romeike, F./Hager, P. (2009): Erfolgsfaktor Risk Management 2.0 – Methoden, Beispiele, Checklisten: Praxishandbuch für Industrie und Handel, 2. Auflage, Wiesbaden 2009.

Romeike, F./Hager, P. (2013): Erfolgsfaktor Risk Management 3.0 – Methoden, Beispiele, Checklisten: Praxishandbuch für Industrie und Handel, 3. Auflage, Wiesbaden 2013.

Cash Flow at Risk im Corporate Risk Management

Industrie- und Handelsunternehmen sind einer Vielzahl potenzieller operativer und strategischer Risiken sowie Finanzrisiken ausgesetzt. Häufig sind beispielsweise operative Cash Flows von Markt- und Rohstoffpreisrisiken abhängig. Eine ungünstige Wechselkursentwicklung kann beispielsweise zu Exportrückgängen führen. Steigende Rohstoffpreise mindern bei konstanten Absatzpreisen den Gewinn. Oder eine ungünstige Zinsentwicklung erschwert den Kapitaldienst und kann geplante Investitionen unrentabel werden lassen. Alle Risikofaktoren zusammen können die Liquidität eines Unternehmens gefährden.

Wie wirken sich eine Veränderung der Rohstoffpreise und der Wechselkurse auf die operativen Cash Flows, den Gewinn oder den Umsatz aus? Mit welcher Wahrscheinlichkeitwerden die operativen Cash Flows den Finanzbedarf des Unternehmen decken (Liquiditätssicherung)? Mit Hilfe der Cash-Flow-at-Risk-Methode können diese und weitere Fragen beantwortet werden.

International tätige Unternehmen sind zahlreichen finanziellen Risiken ausgesetzt. Neben Wechselkursrisiken, Rohstoffpreisrisiken, Zinsrisiken und Aktienrisiken gibt es zahlreiche liquiditätswirksame Risiken aus dem operativen Geschäft. Sowohl Investoren als auch Kunden, Lieferanten und der Gesetzgeber drängen auf eine transparente Berichterstattung, um eine objektive Darstellung der Geschäfts- und Finanzrisiken zu erhalten. Im Mittelpunkt steht die Frage, wie sich finanzielle Risiken auf die Ertragslage eines Unternehmens auswirken.

Industrie- und Handelsunternehmen sind im Gegensatz zu reinen Finanzdienstleistern mit zusätzlichen Unwägbarkeiten konfrontiert. Häufig sind operative Cash Flows von Markt- und Rohstoffpreisrisiken abhängig. Eine ungünstige Wechselkursentwicklung kann beispielsweise zu Exportrückgängen führen. Steigende Rohstoffpreise mindern bei konstanten Absatzpreisen den Gewinn.

Eine ungünstige Zinsentwicklung erschwert den Kapitaldienst und kann geplante Investitionen unrentabel werden lassen. Alle Risikofaktoren zusammen können die Liquidität eines Unternehmens gefährden.

Aber wie wirkt sich eine Veränderung der Rohstoffpreise und der Wechselkurse auf die operativen Cash Flows, den Gewinn oder den Umsatz aus? Mit welcher Wahrscheinlichkeitwerden die operativen Cash Flows den Finanzbedarf des Unternehmens decken (Liquiditätssicherung)? Wie kann die Planung des Unternehmens durch Risikoinformationen ergänzt werden, beispielsweise in Form einer Bandbreitenplanung?

Zur Beantwortung derartiger Fragen bedarf es einer speziell auf Unternehmen und deren individuelle Risikoposition zugeschnittenen Methode.

Der Cash-Flow-at-Risk-Ansatz beantwortet die Frage, wie groß die Abweichung des tatsächlichen Cash Flows von einem geplanten oder budgetierten Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von beispielsweise 95 Prozent in den nächsten 12 Monaten aufgrund von Schwankungen der zugrunde gelegten Risikofaktoren ist.

Mit dem Earnings-at-Risk-Ansatz erfolgt auf handelsrechtlicher Ebene eine ähnliche Betrachtung. Hier stehen nicht die pagatorischen Ein- und Auszahlungen (Cash Flows) im Vordergrund, sondern handelsrechtliche Gewinne und Verluste. So lässt sich beispielsweise ermitteln, wie groß die Abweichung des handelsrechtlichen Gewinns von einem geplanten Jahresgewinn mit 95 Prozent Wahrscheinlichkeit ausfallen kann.

Der Ansatz des Value at Risk dient der Messung von Risiken aus Vermögenspositionen wie beispielsweise Aktienportfolios, Rentenportfolios oder Rohstoffvorräten. Demgegenüber dient die Cash-Flow-at-Risk-Methodik einer Szenarioanalyse zukünftiger Cash Flows.

In der folgenden Abbildung ist die Cash-Flow-at-Risk-Messung schematisch dargestellt. Mit Hilfe stochastischer Szenariomethoden werden für alle relevanten Risikofaktoren Vertrauensintervalle für einen Zeitraum von 12 Monaten geschätzt.

Exposure-Mapping als zentrale Schnittstelle in der Cash-Flow-at-Risk-Simulation

Die statistischen Prognoseverfahren simulieren eine Vielzahl von Szenarien für die Entwicklung der relevanten Risikofaktoren. Zu jedem Risikofaktor wird ein zweiseitiges Vertrauensintervall erstellt. Für jedes Szenario (= Veränderung eines Risikofaktors) wird die Auswirkung auf die operativen Cash Flows analysiert. So entsteht eine Häufigkeitsverteilung der zukünftigen Cash Flows.

Mit Hilfe derartiger Verteilungen kann ein Unternehmen beispielsweise beurteilen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein erwarteter Cash Flow tatsächlich realisierbar ist, wie groß die Abweichung von diesem Zielwert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit ausfällt, oder mit welcher Wahrscheinlichkeit die Liquidität des Unternehmens gefährdet sein kann. Das Cash-Flow-at-Risk-Verfahren wurde in den letzten Jahren von rein finanziellen Risiken auf das gesamte operative Geschäft von Unternehmen ausgedehnt. Inzwischen wird es selbst von kleineren Mittelständlern zur Planung und Risikoanalyse der zukünftigen Liquiditätsentwicklung verwendet, um so frühzeitig mögliche Engpässe zu erkennen und Gegenmaßnahmen zur Liquiditätssicherung zu ergreifen.

Weiterführende Literaturhinweise:

Hager, P. (2004): Corporate Risk Management – Value at Risk und Cash Flow at Risk, Frankfurt/Main 2004.
Romeike, F./Hager, P. (2009): Erfolgsfaktor Risk Management 2.0 – Methoden, Beispiele, Checklisten: Praxishandbuch für Industrie und Handel, 2. Auflage, Wiesbaden 2009.
Romeike, F./Hager, P. (2013): Erfolgsfaktor Risk Management 3.0 – Methoden, Beispiele, Checklisten: Praxishandbuch für Industrie und Handel, 3. Auflage, Wiesbaden 2013.

Varianz-Kovarianz-Ansatz (Delta-Normal-Ansatz, Delta-Gamma-Ansatz)

Die Quantifizierung von Risiken kann grundsätzlich auf zwei Wegen erfolgen, analytisch oder durch Simulation. Für den analytischen Weg bedarf es einer Verteilungsannahme. Beim Varianz-Kovarianz-Modell wird die Stochastik der Risikofaktoren (Volatilitäten und Korrelationen) durch eine Kovarianzmatrix beschrieben, wobei von multivariat normalverteilten Änderungen der Risikofaktoren ausgegangen wird. Der Vorteil des Varianz-Kovarianz-Modells liegt darin, dass eine einfache und schnelle Analyse von Diversifikations- und Hedgeeffekten zwischen den Portfoliobestandteilen ermöglicht wird.

Das Varianz-Kovarianz-Modell existiert in zwei Varianten, dem Delta-Normal-Ansatz und dem Delta-Gamma-Ansatz.

Varianz-Kovarianz-Modell

Delta-Normal-Ansatz bzw. Varianz-Kovarianz-Ansatz

Die Quantifizierung von Risiken kann grundsätzlich auf zwei Wegen erfolgen, analytisch oder durch Simulation. Für den analytischen Weg bedarf es einer Verteilungsannahme. Dem Varianz-Kovarianz-Modell (bzw. Varianz-Kovarianz-Ansatz bzw- Delta-Normal-Ansatz) liegt eine Normalverteilung zu Grunde. Das Modell dient zur Messung des Value at Risk einer Vermögensposition. Der Value at Risk ist der mögliche Verlust, der mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit innerhalb einer festgelegten Periode nicht überschritten wird.

Dichtefunktion und Verteilungsfunktion der Normalverteilung

Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) ist eine symmetrische Glockenkurve und bildet den Kern des Varianz-Kovarianz-Modells (vgl. Abbildung oben). Mit den beiden Parametern Erwartungswert und Standardabweichung wird die Verteilung vollständig beschrieben. Für die Risikomessung wird die Standardabweichung mit einem Faktor für die gewünschte Wahrscheinlichkeit der Aussage multipliziert. Die Gültigkeit der Normalverteilungsannahme vorausgesetzt, führt der z-Wert 1,6449 zu einer Aussagewahrscheinlichkeit von 95 Prozent und der z-Wert von 2,3263 zu 99 Prozent. Dabei ist zu beachten, dass die z-Werte ein zweiseitiges Vertrauensintervall beschreiben. Der z-Wert von 1,6449 umschließt ein zweiseitiges Vertrauensintervall um den Mittelwert das 90 Prozent der Wahrscheinlichkeitsmasse beinhaltet. Vereinfacht ausgedrückt liegen links davon 5 Prozent mit Risiken und rechts davon 5 Prozent mit Chancen. Für die Risikoaussage werden die 5 Prozent mit Chancen den 90 Prozent in der Mitte zugeschlagen und ergeben die gewünschten 95 Prozent Aussagewahrscheinlichkeit.

Der Value at Risk einer einzelnen Vermögensposition ergibt sich aus der Multiplikation von ihrem Marktwert mit seiner Volatilität in Prozent und dem Z-Wert. Bei einer Aktie A mit dem Kurs 100 und einer Volatilität von 20 Prozent p. a. ergibt sich der Value at Risk mit 95-prozentiger Wahrscheinlichkeit auf einen Planungshorizont von einem Jahr wie folgt: 100 * 0,20 * 1,6449 = 32,90. Mit 95 Prozent Wahrscheinlichkeit wird unter normalen Umweltbedingungen binnen eines Jahres der Kursverlust nicht größer als 32,90 sein.

Setzt sich ein Portfolio aus mehreren unterschiedlichen Vermögenspositionen zusammen, bedarf es einer Aggregation der einzelnen Value-at-Risk-Beträge zu einem Portfolio-Value-at-Risk. Bei einer einfachen Addition der Risikobeträge würden die häufig vorhandenen Diversifikationseffekte unbeachtet bleiben. Eine Aussage über die mögliche Diversifikationswirkung zwischen zwei Vermögenspositionen liefert deren Korrelationskoeffizient. Die risikodiversifizierende Wirkung des Korrelationskoeffizienten wird für ein Beispiel-Portfolio berechnet. Zu der oben beschriebenen Aktie A wird eine zweite Aktie mit dem gleichen Kurswert 100 jedoch einer Volatilität von 30 Prozent p. a. hinzugefügt. Deren Value at Risk beträgt mit 95-prozentiger Wahrscheinlichkeit für einen Planungshorizont von einem Jahr folgerichtig: 100 * 0,30 * 1,6449 = 49,35.

In einem zweiten Schritt stellt sich die Frage nach der korrekten Aggregation beider VaR-Kennzahlen. Die einfache Addition der beiden Value-at-Risk-Werte führt zu einem Gesamtrisiko von 82,25 bei einem Gesamtvermögen von 200. Bei der Addition zwischen den beiden Risikofaktoren wird implizit eine Korrelation von 1 angenommen. Jedoch sind in der Praxis häufig geringere Korrelationen zwischen Risikofaktoren beobachtbar. Mit einer Korrelation unter 1 können Risikodiversifikationseffekte realisiert werden, die in der bisherigen Berechnung noch nicht betrachtet wurden. Die Korrelation zwischen den beiden Risikofaktoren kann mit Hilfe der nachfolgenden Gleichung berücksichtigt werden, welche an eine Formel aus dem Portfolio-Selection-Modell von Markowitz zur Berechnung des Portfoliorisikos im Zwei-Anlagen-Fall angelehnt ist.

Berücksichtigung von Korrelation zwischen zwei Risikofaktoren basierend auf dem Portfolio-Selection-Modell von Markowitz

Im Folgenden wird das Gesamtrisiko für den obigen Zwei-Aktien-Fall unter der Annahme einer Korrelation zwischen A und B von Null gerechnet. Der Value at Risk des Portfolios ergibt sich aus

Das Varianz-Kovarianz-Modell für den Zwei-Asset-Fall und für beliebig viele Assets

und beträgt 59,31 mit 95-prozentiger Wahrscheinlichkeit auf einen Planungshorizont von einem Jahr. Gegenüber dem undiversifizierten Value at Risk der zu 82,25 addierten Einzelrisiken entspricht dieser Wert einer Reduktion von knapp 30 Prozent. Für den Fall von mehr als zwei Wertpapieren wird statt der oben gezeigten Formel mit einer Wurzel dann eine Matrizenmultiplikation verwendet (vgl. Abbildung unten). In den Matrizen stehen die Varianzen und statt der Korrelationen die Kovarianzen der Risikofaktoren woraus der Name des für beliebig viele Risikofaktoren gültigen Modells resultiert: Varianz-Kovarianz-Modell[vgl. Romeike/Hager 2013, S. 313 ff].

Delta-Gamma-Ansatz

Das Varianz-Kovarianz-Modell existiert in zwei Varianten, dem Delta-Normal-Ansatz und dem Delta-Gamma-Ansatz. Der Delta-Normal-Ansatz unterstellt, dass die Marktwerte der Positionen im Portfolio linear auf Veränderungen der Risikofaktoren reagieren und ist daher für die Risikoberechnung von Portfolios mit symmetrischen Gewinn-/Verlustprofilen geeignet. Die zweite Methode des Varianz-Kovarianz-Modells bildet der Delta-Gamma-Ansatz. Darin wird die Veränderung des Δ durch eine weitere Kennzahl berücksichtigt. Das Г (Gamma) gibt die Veränderungsrate des Δ bezüglich der Veränderung des Kassakurses an. Nachfolgende Abbildung zeigt den konvexen Zusammenhang zwischen der Wertänderung eines Basisinstruments (beispielsweise einer Aktie) und einer darauf bezogenen Option. Das Gewinn-/Verlustprofil von Optionen ist asymmetrisch, gegen Zahlung einer Prämie werden nur die Chancen realisiert und Risiken vermieden. Im Gegensatz zu der Annahme einer linearen Beziehung im Delta-Normal-Ansatz kann die Delta-Gamma-Variante die Konvexität der Wertebeziehung näherungsweise abbilden. So lässt sich approximativ die Wertänderung der Option bei einer kleinen Wertänderung des Basiswertes schätzen. Trotzdem liefert auch der Delta-Gamma-Ansatz nicht die exakten Ergebnisse wie sie bei einer Neubewertung der Position zu erzielen sind.

Das Varianz-Kovarianz-Modell für den Zwei-Asset-Fall und für beliebig viele Assets

Fazit

Die zuerst genannte Delta-Normal-Methode hat gegenüber allen anderen Methoden zur Risikomessung einen Vorteil: Die besonders schnelle und einfache Risikoschätzung. Davon abgesehen benötigt das Modell eine Reihe von Annahmen, die in der Realität nicht vollständig erfüllt sind. Am häufigsten wird die Annahme normalverteilter Veränderungen der Risikofaktoren kritisiert. Die Delta-Normal-Methode führt zu falschen Risikoprognosen, wenn in dem betrachteten Portfolio Optionen enthalten sind. Das Ausmaß des Fehlers wächst mit dem Portfolioanteil asymmetrischer Produkte. Als Alternative wird die Delta-Gamma-Methode zur Lösung des Problems vorgeschlagen. Die Anwendung der Delta-Gamma-Methode liefert für Portfolios mit optionalen Produkten exaktere Value-at-Risk-Schätzungen als die Delta-Normal-Methode. Dennoch kommt es auch bei der Delta-Gamma-Methode zu fehlerhaften Risikoeinschätzungen, wenn die Restlaufzeit der Optionen gegen Null strebt und/oder die Optionen im Geld sind.

Für die Praxis kann das Varianz-Kovarianz-Modell als erste schnelle Lösung dienen, um beispielsweise einen ersten Eindruck von den aktuell bestehenden Risiken zu erhalten. So könnte die tägliche Risikoüberwachung mit einem Varianz-Kovarianz-Modell erfolgen und in gewissen Abständen wären die Risikoschätzungen mit Hilfe von exakteren, aber komplexen und rechenaufwendigen Modellen zu prüfen.

Weiterführende Literaturhinweise:

<div>Deutsch, H.-P. (2004): Derivate und Interne Modelle – Modernes Risikomanagement, Stuttgart 2004.</div>

<div>Romeike, F./Hager, P. (2013): Erfolgsfaktor Risk Management 3.0 – Methoden, Beispiele, Checklisten: Praxishandbuch für Industrie und Handel, 3. Auflage, Wiesbaden 2013.</div>

FMEA (Failure Mode and Effects Analysis)

Die Fehlermöglichkeits- und Einflussanalyse bzw. Ausfalleffektanalyse (FMEA = Failure Mode and Effects Analysis) ist eine systematische, halbquantitative Risikoanalysemethode. Sie wurde ursprünglich zur Analyse von Schwachstellen (Risiken) technischer und militärischer Systeme oder Prozesse entwickelt. So wurde die FMEA beispielsweise in den sechziger Jahren für die Untersuchung der Sicherheit von Flugzeugen entwickelt und anschließend auch in der Raumfahrt, für Produktionsprozesse in der chemischen Industrie und in der Automobilentwicklung verwendet.

FMEA folgt dem Grundgedanken einer vorsorgenden Fehlervermeidung anstelle einer nachsorgenden Fehlererkennung und -korrektur (Fehlerbewältigung) durch frühzeitige Identifikation und Bewertung potenzieller Fehlerursachen bereits in der Entwurfsphase.

Die Fehlermöglichkeits- und Einflussanalyse bzw. Ausfalleffektanalyse (FMEA = Failure Mode and Effects Analysis) ist eine systematische, halbquantitative Risikoanalysemethode.

Sie wurde ursprünglich zur Analyse von Schwachstellen (Risiken) technischer und militärischer Systeme oder Prozesse entwickelt. So wurde die FMEA beispielsweise in den sechziger Jahren für die Untersuchung der Sicherheit von Flugzeugen entwickelt und anschließend auch in der Raumfahrt, für Produktionsprozesse in der chemischen Industrie und in der Automobilentwicklung verwendet.

Die FMEA wurde unter anderem auch nach dem Störfall im Druckwasserreaktor "Three Miles Island" in Harrisburgh/Pennsylvania vom 28. März 1979 auch für Nuklearanlagen empfohlen.

Heute empfehlen viele Standards, beispielsweise im Qualitätsmanagement, den Einsatz der FMEA. Die Kernidee der FMEA basiert auf dem frühzeitigen Erkennen und Verhindern von potenziellen Fehlern sowie deren Auswirkungen auf die Produktfunktionen. Die FMEAanalysiert daher präventiv Fehler und deren Ursache. Sie bewertet Risiken bezüglich Auftreten, Bedeutung und ihrer Entdeckung.

Hierbei gilt die einfache Logik: Je früher ein Fehler erkannt wird, desto besser. Eine Fehlerfortpflanzung von der Forschung und Entwicklung bis zum Produkt bedeutet fast immer eine Potenzierung des Aufwandes.In der Praxis werden unterschiedliche Arten von FMEA unterschieden:

System-FMEA: Hierbei liegt der Fokus vor allem auf einem einwandfreien Funktionieren der einzelnen Systemkomponenten. Bereits in einer sehr frühen Produktplanungsphase werden Überlegungen zum Gesamtrisiko, wie etwa unsichere Marktanteile, Kostenbeherrschung, Make or Buy, Sicherheit, Werbe- und Vertriebsstrategien oder Fragen der Umweltverträglichkeit gestellt.
Konstruktions-FMEA: Der primäre Fokus liegt hierbei vor allem bei einem einwandfreien Funktionieren der einzelnen Produktkomponenten. Hierbei wird der konkrete Produktentwurf, bevor er in der Detailkonstruktion weiterbearbeitet wird, von Fachleuten der Konstruktion, der Produktion, des Verkaufs, des Kundendienstes und der Qualitätsabteilung auf Produktionsrisiken, Prüfrisiken oder Materialrisiken untersucht.
Prozess-FMEA: Hierbei liegt der Fokus vor allem beim Aufbau von einwandfreien Prozessen zur Herstellung der Bauteile und Systeme. Bevor die Einzelteile und Baugruppen in die Produktion gehen, untersucht ein Team von Experten die Realisierungsrisiken und legt fest, welche möglichen prozessbegleitenden Maßnahmen zur besseren Beherrschung notwendig werden.
Hardware-FMEA: Hierbei wird das Ziel verfolgt, Risiken aus dem Bereich Hardwareentwicklung und -produktion sowie Elektronik zu analysieren, zu bewerten und mit Maßnahmen präventiv zu steuern.
Software-FMEA: Hierbei wird das Ziel verfolgt, Risiken im Bereich der Softwareentwicklung präventiv zu erkennen und zu bewerten sowie mit Maßnahmen präventiv zu steuern.

In einem ersten Schritt wird das Unternehmen als intaktes und störungsfreies System beschrieben und abgegrenzt. In einem zweiten Schritt wird das Gesamtsystem in unterschiedliche Funktionsbereiche oder ähnliches zerlegt. In einem dritten Schritt werden sodann die potenziellen Störungszustände der einzelnen Komponenten untersucht. Hierbei werden auch systemdurchgreifende Störungen erfasst. In einer abschließenden vierten Stufe werden die Auswirkungen auf das Gesamtsystem abgeleitet.

FMEA-Formblatt zur Dokumentation der Risikoanalyse

Ein wesentlicher Vorteil der Ausfalleffektanalyse ist die klare Formalisierung mit Hilfe von "Worksheets" (Arbeitsblättern), die neben der Funktion, die Fehlerursache, die Fehlerwirkung, die bedrohten Objekte (targets) sowie die Risikobewertung hinsichtlich Eintrittswahrscheinlichkeit und Schadensausmaß (Probability/Severity) enthalten (Vgl. Abbildung oben).

Ein wesentlicher Mangel der FMEA-Methode besteht auch darin, dass Interdependenzen, dass heißt Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Komponenten des Gesamtsystems, nicht analysiert werden. Jedoch wurden in der Zwischenzeit eine ganze Reihe von Ergänzungen zur traditionellen FMEA entwickelt. So ist die System-FMEA ebenso wie die klassische Prozess-FMEA eine systematische und halbquantitative Risikoanalysemethode, die im Unterschied zur FMEA die möglichen Fehler auf der Ebene des Produktes und der möglichen Auswirkungen auf den Kunden bewertet. Der Ansatz der System-FMEA verbindet Produkt und Prozess, wodurch eindeutige Ursache-Wirkungs-Ketten dargestellt werden können. Heute wird die FMEA vor allem basierend auf Qualitätsmanagement-Systemen (ISO 9000 ff) in vielen Unternehmen angewendet.

Risikobewertung bei der FMEA

Die Bewertung bei der FMEA erfolgt in der Regel durch eine Experteneinschätzung in interdisziplinären Teams, die jeweils Punkte von "10" bis "1" vergeben (rein qualitative Risikobewertung). Hierbei wird immer von der höheren Bewertung zur niedrigeren Bewertung abgestuft.

Bedeutung des Risikos (hoch = "10" bis gering = "1").
Auftretenswahrscheinlichkeit der Ursache (hoch = "10" bis gering = "1")
Entdeckenswahrscheinlichkeit der Ursache oder des Fehlers im Prozess, vor Übergabe an den Kunden (gering = "10" bis hoch = "1")

Die Kennzahlen B, A und E zur Bedeutung (der Fehlerfolge, "Severity"), Auftretenswahrscheinlichkeit (der Fehlerursache, "Occurrence") und Entdeckungswahrscheinlichkeit (des Fehlers oder seiner Ursache, "Detection") bilden die Basis zur Risikobewertung. Die Kennzahlen sind ganzzahlige Zahlenwerte zwischen 1 und 10.

Mit der Berechnung der Risiko-Prioritätszahl (RPZ) wird eine Rangfolge der Risiken abgeschätzt. Die RPZ entsteht durch Multiplikation der B-, A- und E-Bewertungszahlen (RPZ= B ⋅ A ⋅ E) und kann Werte zwischen 1 und 1000 annehmen.

Weiterführende Literaturhinweise:

Eberhardt, O. (2012): Risikobeurteilung mit FMEA, Renningen 2012.
Romeike, F./Hager, P. (2013): Erfolgsfaktor Risk Management 3.0 – Methoden, Beispiele, Checklisten: Praxishandbuch für Industrie und Handel, 3. Auflage, Wiesbaden 2013.
Werdich, M. (2013): FMEA – Einführung und Moderation, 2. Auflage, Wiesbaden 2013.

Fehlerbaumanalyse

Mit Beginn der 1960er Jahre wurden Techniken zur systematischen Analyse sicherheitskritischer Systeme entwickelt. Dazu gehören neben der Hazard and Operability Analysis (HAZOP) und der FMEA auch die Fehlerbaumanalyse (fault tree analysis, FTA), die im Jahr 1961 als deduktives Verfahren in den Bell Telephone Laboratories entwickelt wurde. Ziel war ursprünglich die Analyse des Abschusskontrollsystems für die von Boeing hergestellte Interkontinentalrakete vom Typ LGM-30 Minuteman. In den 1970er und 1980er Jahren wurde die Fehlerbaumanalyse unter anderem bei der Planung von Atomkraftwerken eingesetzt.

Die Fehlerbaumanalyse ist als Methode der Systemanalyse in der DIN 25424 beschrieben (Fehlerbaumanalyse, Teil 1: Methode und Bildzeichen, Teil 2: Handrechenverfahren zur Auswertung eines Fehlerbaumes).

Die Fehlerbaumanalyse nimmt als Ausgangspunkt – im Gegensatz zur FMEA – nicht eine einzelne Systemkomponente, sondern das potenziell gestörte Gesamtsystem. Die Fehlerbaumanalyse baut auf der sogenannten negativen Logik auf. Das heißt, der Fehlerbaum beschreibt eine Ausfallsfunktion die bei dem Zustand logisch-1 einen Ausfall ausdrückt, bei logisch-0 liegt ein funktionsfähiges System vor.

Sie gehört zu den "Top-Down"-Analyseformen im Risikomanagement. In einem ersten Schritt wird daher das Gesamtsystem detailliert und exakt beschrieben. Darauf aufbauend wird analysiert, welche primären Störungen eine Störung des Gesamtsystems verursachen oder dazu beitragen können. Ausgangspunkt ist hierbei zunächst ein einziges unerwünschtes Ereignis, welches an der Spitze des Fehlerbaums steht, das sogenannte Top-Ereignis. Das Top-Ereignis resultiert in der Regel aus einer Risikoanalyse bzw. Szenarioanalyse.

Der nächste Schritt gliedert die sekundären Störungsursachen weiter auf, bis schließlich keine weitere Differenzierung der Störungen mehr möglich oder sinnvoll ist. Der Fehlerbaum stellt damit alle Basisergebnisse dar, die zu einem interessierenden Top-Ereignis führen können.

In der einfachsten Form besteht er aus folgenden Elementen: Entscheidungsknoten (E), die Entscheidungen kennzeichnen, Zufallsknoten, die den Eintritt eines zufälligen Ereignisses darstellen sowie aus Ergebnisknoten (R), die das Ergebnis von Entscheidungen oder Ereignissen darstellen.

Zwischen diesen Elementen befinden sich Verbindungslinien
Komplexe Fehlerereignisse werden mittels logischer Verknüpfung weiter in einfachere Ereignisse aufgeteilt. Verknüpfungen lassen sich grundlegend in zwei Kategorien einteilen: In Oder-Verknüpfungen, bei denen der Fehler auftritt, falls eines der Ereignisse auftritt, sowie in Und-Verknüpfungen, bei denen der Fehler nur auftritt, falls alle Ereignisse auftreten. Ein Block-Gatter führt zwischen einem Ereignis und der entsprechenden Ursache eine Nebenbedingung ein. Die Nebenbedingung muss zusätzlich zur Ursache vorhanden sein, damit die Wirkung eintritt. Die Bedingung beschreibt Ereignisse, die keine Fehler oder Defekte sind und im Normalbetrieb auftreten.

Um einen großen Fehlerbaum anschaulich zu präsentieren, können ganze Unterbäume durch ein Transfer-Symbol markiert und separat analysiert werden. Die im Fehlerbaum definierten Ursachen sind Zwischenereignisse, die weiter untersucht werden, bis ein gewünschter Detaillierungsgrad erreicht wird. Ursachen, die nicht weiter untersucht werden, sind Blätter im Fehlerbaum. Blätter sind entweder Basisereignisse des Systems oder Ereignisse, die für die Analyse (noch) nicht detailliert genug beschrieben wurden (nicht untersuchte Ereignisse). In der nachfolgenden Abbildung ist ein Beispiel für einen Fehlerbaum dargestellt.

Vorgehensweise zur Konstruktion eines Fehlerbaumes

In komplexen Systemen können zusätzlich auch redundanzübergreifende Fehler auftreten. Dies sind Fehlerquellen, die an mehreren Stellen des Fehlerbaums auftreten und sich aufgrund der Systemstruktur nicht direkt in nur einen Minimalschnitt zusammenfassen lassen. Diese sogenannten "Gemeinsam verursachte Fehler" (GVA) bzw. Common Cause Failure (CCF), erschweren die Anwendung der Fehlerbaumanalyse.

Eine wesentliche Eigenschaft der Ereignisse in einem Fehlerbaum ist, dass sie unerwünscht sind. Sie beschreiben Fehlerzustände, Störungen oder Ausfälle. In der Praxis ist der Einsatz von Fehlerbaum-Techniken oft auch gemeinsam mit Szenariotechniken und mit Ereignisbaum-Techniken zu beobachten. Letzterer Ansatz beobachtet all diejenigen Faktoren, die zu einem Störfall führen können. Die Darstellung erfolgt ebenfalls als Baum.

Nach Erstellung des Fehlerbaums wird bei der quantitativen Fehlerbaumanalyse jedem Basisereignis eine bestimmte Eintrittswahrscheinlichkeit für den Ausfall zugewiesen. Daten für konkrete Ausfallsraten können aus eigenen Untersuchungsreihen für die einzelnen Basiskomponente stammen, oder es wird bei handelsüblichen Bauelementen und Komponenten auf freie Datenbanken wie das MIL-HDBK-217F oder kommerzielle Datenbanken wie 217Plus zurückgegriffen. Die den einzelnen Basiskomponenten zugewiesenen Ausfallraten λ lassen sich im einfachen Fall einer Exponentialverteilung – dies entspricht einer angenommenen zeitlich konstanten Ausfallsrate über die Zeit t – mit der Ausfallwahrscheinlichkeit P beschreiben.

Die Fehlerbaumanalyse wird beispielsweise für die folgenden Fragestellungen eingesetzt:

In der Planung von Industrieanlagen, vor allem in der Verfahrenstechnik, und im vorbeugenden Brandschutz.
In der Software-Entwicklung wird sie verwendet, um die Fehler von Programmen zu analysieren.
In der Flugsicherheit werden zur Bestimmung der definierten SicherheitFehlerbaumanalysen mittels Checklisten ausgeführt.
In der Produktentwicklung, vor allem in der Automobilindustrie.
Im Rahmen der PSÜ (Periodische Sicherheitsüberprüfung bzw. probabilistischen Sicherheitsanalyse) für kerntechnische Anlagen, um die Wahrscheinlich für den Ausfall eines sicherheitstechnischen Systems angeben zu können.

Weiterführende Literaturhinweise:

Deutsches Institut für Normung (1981/1990) DIN 25424 Fehlerbaumanalyse (Fehlerbaumanalyse, Teil 1: Methode und Bildzeichen, Teil 2: Handrechenverfahren zur Auswertung eines Fehlerbaumes), Ausgabe 1981-09 bzw. Ausgabe 1990-04, Berlin 1981/1990.
Romeike, F./Hager, P. (2013): Erfolgsfaktor Risk Management 3.0 – Methoden, Beispiele, Checklisten: Praxishandbuch für Industrie und Handel, 3. Auflage, Wiesbaden 2013.
Vesely, W. et al (1981): Fault Tree Handbook, U.S. Nuclear Regulatory Commission, Washington DC 1981.

Szenarioanalyse (deterministisch)

Die (deterministische) Szenarioanalyse ist im betriebswirtschaftlichen Kontext eine heutzutage verbreitete Methode, die insbesondere im Bereich Strategie/Unternehmensentwicklung, aber auch im Risikomanagement, als Instrument der Entscheidungsvorbereitung und -unterstützung etabliert ist. Sie wird vorrangig bei zukunftsorientierten Fragestellungen eingesetzt, kann aber auch bei der Auswahl einer Alternative bei einer unmittelbar anstehenden Entscheidung wirkungsvoll unterstützen.

Die Grundidee ist, einen alternativen Zustand zu beschreiben und anhand dieser Beschreibung Konsequenzen auf eine zu untersuchende Fragestellung abzuleiten. In aller Regel werden die so erhaltenen Kenntnisse verwendet, um darauf aufbauend zu konkreten Handlungsempfehlungen zu gelangen.

Formale Grundidee der Szenarioanalyse

Die Szenarioanalyse wurde im Jahr 1967 von Herman Kahn und Anthony J. Wiener in die Wirtschaftswissenschaften eingeführt. Sie definieren Szenario als "a hypothetical sequence of events constructed for the purpose of focussing attention on causal processes and decision points.” [Kahn /Wiener 1967, S. 6]: Kahn und Wiener weiter "They answer two kinds of questions: (1) Precisely how might some hypothetical situation come about, step by step? and (2) What alternatives exist, for each actor, at each step, for preventing, diverting, or facilitating the process.” [Kahn /Wiener 1967, S. 6].

Kahn wollte – nach den Erfahrungen des Zweiten Weltkriegs – mit Hilfe von Szenarien eingetretene Denkpfade verlassen und unvorstellbare und undenkbare ("think the unthinkable") Entwicklungen bei den Analysen berücksichtigen.

Für die Szenarioanalyse existieren je nach Autor und Methodenschule verschiedene Vorgehensmodelle [vgl. beispielsweise Götze 1993 oder von Reibnitz 1992], die jedoch alle den drei Hauptschritten Analysephase, Extrapolation und Szenariobildung sowie Auswertung und Transfer der Erkenntnisse folgen. Hier soll ein aus acht Schritten bestehendes Vorgehensmodell vorgestellt und kurz beschrieben werden, siehe dazu nachfolgende Abbildung.

Ein mögliches Vorgehensmodell der Szenarioanalyse

Beispielhaftes Vorgehensmodell der Szenarioanalyse

Vorgehensweise bei der Szenarioanalyse

Der erste Schritt, das Festlegen der zu untersuchenden Fragestellung, dient insbesondere zwei wichtigen Aspekten: Klarheit zu erlangen, was genau zu untersuchen ist, sowie dem gemeinsamen Verständnis darüber im Team. Bei dem zweiten Aspekt geht es auch darum, eine gemeinsame Sprache zu finden, was in einem interdisziplinär oder sogar intersektoral zusammengesetzten Team nicht ganz einfach, aber sehr wichtig ist. Nur das gemeinsame Verständnis sichert, dass in der weiteren Analyse das Team in die gleiche Richtung arbeitet. Das Aufbauen dieses Verständnisses lässt sich erfahrungsgemäß gut erreichen, wenn neben dem Festlegen der Fragestellung die dazu notwendige Ausgangslage oder Ist-Situation beschrieben wird. Hier wird anhand der Prioritätensetzung schnell deutlich, wo signifikante Unterschiede im Verständnis bestehen.

Einflussfaktoren beschreiben relevante Sachverhalte in Bezug auf die zu untersuchende Fragestellung. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass sie veränderlich sind und diese Veränderung jeweils wichtig in Bezug auf die Fragestellung ist. Das Identifizieren von Einflussfaktoren beginnt häufig als interne Analyse unter dem Einsatz von Kreativitätstechniken. Gegebenenfalls können hier Strukturvorgaben – etwa das klassische politisch, ökonomisch, sozial, technologisch, ökologisch – bei der Sammlung potenzieller Einflussfaktoren helfen. Basierend auf diesen Ergebnissen helfen vertiefende Literaturrecherchen und Experteninterviews, die ermittelten Einflussfaktoren zu verifizieren und zu ergänzen. Im Ergebnis dieses Schrittes sollte zu den Einflussfaktoren ein gemeinsames Verständnis vorherrschen, Duplikate sollten ebenso wie Ober- und Unterbegriffe eliminiert sein. Um in der späteren Analyse Missdeutungen zu vermeiden, sind Einflussfaktoren wertfrei zu beschreiben. Wertfrei heißt, dass Worte wie stärker/schwächer, mehr/weniger, gut/schlecht und so weiter nicht in der Bezeichnung der Einflussfaktoren auftauchen, da ansonsten eine Beeinflussung der Denkweise und bei der Bewertung der Szenarien droht. In der Literatur wird hierfür auch der Begriff des Deskriptors verwendet (vgl. beispielsweise Garfield 1997, S. 9].

Im nächsten Schritt sind die Einflussfaktoren entsprechend ihrer Wichtigkeit in Bezug auf die Fragestellung zu priorisieren. Ziel ist es, sich in der weiteren Analyse auf die wichtigsten Einflussfaktoren zu konzentrieren. Als Faustregel sollten hiernach nicht mehr als zwanzig Einflussfaktoren üblich bleiben. Dadurch wird die Komplexität der weiteren Analyse reduziert. Ohne diese Priorisierung besteht die Gefahr, in die Komplexitätsfalle zu tappen und an der Analyse zu scheitern. Als Instrumente kommen hier die Einflussfaktorenanalyse, auch Vernetzungsmatrix oder Papiercomputer von Vester genannt, oder auch eine Einfluss-Unsicherheitsanalyse zum Einsatz.

In der nachfolgenden Matrix ist beispielhaft eine Einflussfaktorenanalyse (auch Vernetzungsmatrix oder Papiercomputer von Vester genannt) skizziert.

Einflussfaktorenanalyse

Analyse der Einflussfaktoren

Die Analyse der Einflussfaktoren mit Hilfe einer Matrix erfolgt nach folgendem Vorgehen:

Direkten Einfluss zwischen jeweils zwei Einflussfaktoren (EF) quantifizieren (Skala beispielsweise von 0 – kein Einfluss bis 3 – starker Einfluss);
Aktivsumme (AS) gibt an, wie stark der Einflussfaktor die anderen Faktoren beeinflusst;
Passivsumme (PS) gibt an, wie stark der Einflussfaktor durch andere Faktoren beeinflusst wird;
Einflussfaktoren sind eher aktiv, wenn AS > PS, und eher reaktiv, wenn AS < PS;
Einflussfaktoren sind kritisch (d. h. stark vernetzt), wenn AS * PS groß ist, und träge (d. h. wenig vernetzt), wenn AS * PS kleine Werte annimmt.

Zu beachten ist, dass bei diesem Schritt immer die Gefahr besteht, dass relevante Bereiche für die weitere Analyse eliminiert werden. Eine regelmäßige Kontrolle, ob hier versehentlich falsche Einflussfaktoren gestrichen worden, ist daher im weiteren Prozess unerlässlich.

Im vierten Schritt werden die als realistisch erscheinenden Ausprägungen je Einflussfaktor für die weitere Szenarioanalyse festgelegt. Quellen für diese Festlegung sind Studien, Experteninterviews, Extrapolationen, Gruppendiskussionen und Intuition.

Mögliche Szenarien werden anschließend durch Kombination verschiedener Ausprägungen der Einflussfaktoren gebildet. Für diese ist zu untersuchen, ob sie in sich möglichst konsistent sind, das heißt, ob die Ausprägungen der Einflussfaktoren sich nicht widersprechen. Dies kann mit einer paarweisen Analyse oder mit Hilfe einer Konsistenzmatrix erfolgen. Aus den konsistenten Szenarien werden dann diejenigen ausgewählt, die im Folgenden detailliert zu untersuchen sind. Die Schritte fünf und sechs des Vorgehensmodells können gegebenenfalls auch in anderer Reihenfolge durchgeführt werden, das heißt, zunächst wird festgelegt, welche Szenarien detailliert untersucht werden sollen. Bevor jedoch diese detaillierte Analyse erfolgt, sind diese Szenarien auf Konsistenz zu prüfen und inkonsistente Szenarien auszusortieren (vgl. nachfolgende Abbildung).

Konsistenzprüfung mittels Konsistenzmatrix

Die ausgewählten Szenarien werden in Hinblick auf die zu untersuchende Fragestellung analysiert und die sich aus ihnen ergebenden Konsequenzen abgeleitet. Oft ist es ratsam, Störereignisse wie beispielsweise externe Schocks oder Trendbrüche mit in diese Analyse aufzunehmen, um so ein Gefühl für die Sensitivität beziehungsweise Stabilität der Szenarien zu erhalten. Änderungen im Ausmaß einer Katastrophe sollten bei dieser Sensitivitätsanalyse jedoch außen vor bleiben, da mit ihnen häufig eine Veränderung des gesamten Gefüges verbunden ist, also die getroffenen Annahmen und berücksichtigen Wirkungszusammenhänge nicht mehr gelten. Basierend auf den Konsequenzen werden Handlungsoptionen gesammelt und diese ebenfalls auf ihren Einfluss hin untersucht. Ergebnis sind dann konkrete Handlungsempfehlungen für die untersuchte Fragestellung. Insbesondere für negative Szenarien ist es zudem ratsam, Indikatoren zu identifizieren, die den Eintritt des Szenarios ankündigen. All diese Ergebnisse werden in einem sogenannten Szenario-Steckbrief zusammengefasst.

Typische Anwendungsfälle

Szenarioanalysen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie bildhafte Darstellungen einer alternativen Situation vermitteln. Diese Bilder werden in einem strukturierten Prozess erarbeitet, der zum Verständnis des Sachverhalts beiträgt. Dabei können qualitatives Wissen und Annahmen mit quantitativen Fakten und Prognosen kombiniert werden, so dass sich allein daraus ein breites Anwendungsspektrum dieser Simulationsmethode ergibt. Szenarioanalysen finden sich in betriebswirtschaftlichen Fragen ebenso wie in volkswirtschaftlichen Untersuchungen, politischen Analysen, technischen Fragestellungen oder militärischen Umfeld, nur um einige Einsatzgebiete zu nennen.

Konkrete Anwendungen dieser flexiblen Simulationsmethode im betriebswirtschaftlichen Kontext sind beispielsweise:

Analyse alterativer beziehungsweise zukünftiger Zustände. Hierbei geht es darum, mögliche Entwicklungen zu identifizieren, die dahinter stehenden Annahmen zu explizieren und besonders relevante Entwicklungen zu erkennen. Auswirkungen externer und interner Einflüsse werden analysiert. Darüber hinaus werden in diesem Prozess häufig auch Unsicherheiten, Wissenslücken und Dilemmata aufgedeckt, die im Rahmen der Entscheidungsfindung zu berücksichtigen sind.
Zielbildung und Entscheidungsunterstützung. Existieren lediglich vage Zielvorstellungen, können diese mit Hilfe der Szenarioanalyse konkretisiert werden. Im Fokus der Analyse stehen Fragen wie: Wohin soll es gehen? Was soll konkret erreicht werden? Wie soll dieses Ziel geschafft werden? Dazu sind in aller Regel alternative Handlungsoptionen zu entwickeln und zu bewerten, um Entscheidungsprozesse aktiv und wirkungsvoll zu unterstützen.
Kommunikation von Sach- oder Problemlagen. Szenarien eignen sich auch hervorragend, einzelne Entscheider oder auch breite Bevölkerungsschichten über Themen und Problemlagen zu informieren. Szenarien schaffen es durch ihre bildhafte und gegebenenfalls pointierte Darstellung eines möglichen Zustands, einen Sachverhalt greifbar und verständlich zu machen. Interne wie öffentliche Debatten lassen sich dadurch anreichern. Ausführungen und Erläuterungen können mit Hilfe von Szenarien konkret und bildlich anstelle von vage und abstrakt vermittelt werden.

Szenariotrichter zur Visualisierung

Der Blick in die Zukunft ist selbstverständlich mit Unsicherheiten verbunden. Daher wird das angestrebte Ergebnis in Form eines Szenariotrichters visualisiert.

Visualisierung in Form eines Szenariotrichters

Den Ausgangspunkt beim Szenariotrichter bildet das Trendszenario. Dieses Trendszenario stellt die zukünftige Entwicklung unter der Annahme stabiler Umweltentwicklungen dar. Da im Regelfall allerdings von instabilen Umweltbedingungen ausgegangen werden muss, werden sowohl positive als auch negative Entwicklungsmöglichkeiten berücksichtigt und im Szenariotrichter abgebildet. Durch die zunehmende Unsicherheit der potenziellen Zukunftsszenarien in der Zukunft verbreitert sich die Spannweite über die Zeitachse. Das Extremszenario, das die bestmögliche Entwicklung ("best case") aufzeigt, stellt das obere Ende des Trichters dar. Das Extremszenario, das die schlechteste Entwicklung ("worst case") abbildet, stellt das untere Ende des Trichters ab. Die Worst-Case-Szenarien können auch so genannte Stressszenarien sein. Je breiter die Öffnung des Trichters, desto höher die Unsicherheit der zukünftigen Entwicklung.

Weiterführende Literaturhinweise:

Garfield, E. (1997): A Tribute To Calvin N. Mooers, A Pioneer Of Information Retrieval, in: The Scientist, Vol.11, Ausgabe 6, 17. März 1997.
Götze, U. (1993): Szenario-Technik in der strategischen Unternehmensplanung, Wiesbaden 1993.
Kahn, H./Wiener, A. J. (1967): The Year 2000: A Framework for Speculation on the Next Thirty-Three Years, New York 1967.
von Reibnitz, U. (1992): Szenario-Technik. Instrumente für die unternehmerische und persönliche Erfolgsplanung, Wiesbaden 1992.
Romeike, F./Hager, P. (2013): Erfolgsfaktor Risk Management 3.0 – Methoden, Beispiele, Checklisten: Praxishandbuch für Industrie und Handel, 3. Auflage, Wiesbaden 2013.

Monte-Carlo-Simulation

Die Monte-Carlo-Simulation wird häufig für die Lösung komplexer Aufgaben wie beispielsweise zur Messung finanzieller Risiken oder im Bereich Bandbreitenplanung (EBIT@Risk, Cash Flow at Risk etc.) vorgeschlagen. Es handelt sich dabei um ein Simulationsverfahren auf Basis von Zufallszahlen, dessen Name zunächst etwas kurios erscheinen mag. Die genaue Herkunft der Bezeichnung für dieses Simulationsverfahren ist nicht bekannt, jedoch wurde in diesem Zusammenhang der Begriff "Monte Carlo" das erste mal im zweiten Weltkrieg als Deckname für eine geheime Forschung im Bereich des amerikanischen Atomwaffenprogramms verwendet. Zwei Wissenschaftler haben 1942 in Los Alamos für die Lösung komplexer Probleme das Simulationsverfahren angewendet, welches 1949 als Monte-Carlo-Simulation bekannt wurde. Vermutlich wurde der Name zuvor von einem 1862 in Monaco gegründeten Casino abgeleitet, da ein Roulettetisch streng genommen ebenfalls ein Zufallszahlengenerator ist.

Die Generierung von Zufallszahlen ist der wesentliche Unterschied zwischen der Monte-Carlo-Simulation und der Historischen Simulation. Statt der Verwendung von historischen Wertänderungen wird die Unsicherheit über das zukünftige Verhalten der Risikofaktoren mit Zufallszahlen angegangen.

Dem Namen nach eine der bekanntesten Simulationsmethoden dürfte die Monte-Carlo-Simulation sein (auch als stochastische Szenarioanalyse bezeichnet; im Gegensatz zur deterministischen Szenarioanalyse). Das liegt sicherlich zu einem nicht unerheblichen Teil am Namen Monte Carlo, der in aller Welt durch das dort befindliche Casino häufig mit Glücksspiel assoziiert wird. Eng damit verbunden ist der Begriff der Wahrscheinlichkeit, und in der Tat liefern die mathematische Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik das wissenschaftliche Fundament dieser Simulationsmethode.

Die Entwicklung der Methode ist eng verbunden mit den Namen der beiden Mathematiker Stanislaw Ulam und John von Neumann. Sie sollen während ihrer Arbeit zum Manhatten-Projekt am Los Alamos Scientific Laboratory diese Methode verwendet haben, um hochkomplexe physikalische Probleme nummerisch mit Hilfe einer Simulation zu lösen [vgl. Hubbard 2007, S. 46 sowie Grinstead/Snell 1997, S. 10-11]. Der Anekdote nach wurde als Codename Monte Carlo verwendet. Die ersten wissenschaftlichen Publikationen zu diesem Verfahren erschienen Ende der 1940er Jahre [vgl. Ulam/Richtmyer/von Neumann 1947]. Mit dem zur damaligen Zeit parallelen Aufkommen elektronischer Computer fand die Monte-Carlo-Simulation zunächst in der Wissenschaft, später auch in der Wirtschaft ihre Verbreitung.

Eine der ersten Monte-Carlo-Simulationen der Geschichte hat jedoch bereits der französische Naturforscher Georges Louis Leclerc de Buffon im 18. Jahrhundert durchgeführt [vgl. Kaiser/Nöbauer 1998, S. 185 und S. 286]. In seinem unterdessen berühmten Nadelexperiment untersuchte er, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällig geworfene Nadel die Linien eines parallelen Rasters kreuzt. Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich analytisch ermitteln, sie ist unter anderem abhängig von der mathematischen Naturkonstante π. Dieses Verfahren kann jedoch auch umgekehrt benutzt werden, um eben dieses π zu ermitteln. Durch den Zufallscharakter jedes einzelnen Nadelwurfs beruht dieses Verfahren auf dem Prinzip der Monte-Carlo-Methode.

Die grundlegende Idee der Monte-Carlo-Methode ist es, für zufällig gewählte Parameter über die entsprechenden Zusammenhänge (Ursache-Wirkungsgeflecht) die zugehörigen Ergebnis- oder Zielgrößen zu ermitteln. Das zur Ermittlung der Zielgrößen verwendete Modell ist in der Regel deterministischer Natur, das heißt, mit dem Festlegen der Parameter sind die Zielgrößen eindeutig bestimmt. Allerdings sind die Zielgrößen durch den Zufallscharakter der Parameter im Prinzip wiederum zufällige Größen. Jedoch kann im Allgemeinen davon ausgegangen werden, dass eine hinreichend große Anzahl so ermittelter Zielgrößen einen guten Näherungswert für die tatsächlichen Werte dieser Zielgrößen darstellt (genau genommen sind nicht die tatsächlichen Werte, sondern die Erwartungswerte der Zielgrößen gemeint. Mathematisches Fundament dieses Vorgehens sind das Gesetz der großen Zahlen, der Hauptsatz der Statistik, siehe Satz von Gliwenko, sowie der zentrale Grenzwertsatz). Die Monte-Carlo-Methode ist damit ein Stichprobenverfahren. Auf Grund der zufälligen Auswahl der Parameter hat sich ebenfalls der Begriff der stochastischen Simulation etabliert [vgl. vertiefend Romeike/Hager 2013, S. 339 ff. sowie Romeike/Spitzer 2013, S. 101 ff.].

Das Vorgehen bei einer Monte-Carlo-Simulation wurde von Metropolis und Ulam in einem Artikel beschrieben, der im Jahre 1949 im Journal of the American Statistical Association erschienen ist. Darin beschreiben beide Wissenschaftler das Vorgehen bei der Monte-Carlo-Methode durch zwei Schritte: "(1) production of 'random' values with their frequency distribution equal to those which govern the change of each parameter, (2) calculation of the values of those parameters which are deterministic, i.e., obtained algebraically from the others." [Metropolis/Ulam 1949, S. 335-341].

Diese aus heutiger Sicht simple Idee, die Eingangsparameter einer Simulation als Zufallsgrößen zu betrachten, kann auch mit anderen Simulationsansätzen kombiniert werden. So sind stochastische Szenarioanalysen keine Seltenheit, aber auch für nahezu alle weiter unten erläuterten Simulationsmethoden ist die Verwendung stochastischer Parameter heutzutage eine gängige Praxis.

Illustration der Methode

An dem durch Metropolis und Ulam beschriebenen Vorgehen hat sich in den letzten etwa 60 Jahren nicht viel geändert. Illustriert werden soll das Vorgehen an folgendem Beispiel [vgl. Romeike/Spitzer 2013, S. 103 f.]: Ein Servicetechniker betreut zwei Kunden. Kunde A benötigt mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 Prozent die Unterstützung des Technikers, während Kunde B lediglich mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 Prozent auf Hilfe angewiesen ist. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kunden, die stochastisch unabhängig voneinander agieren, gleichzeitig den Servicetechniker um Hilfe bitten (die Lösung ist in diesem einfachen Fall auch analytisch ermittelbar, die Wahrscheinlichkeit eines gleichzeitigen Hilferufs beträgt 20 % * 5 % = 1 %).

Soll dieses Beispiel mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation gelöst werden, so wird zunächst eine zufällige Situation erzeugt und für diese geprüft, ob beide Kunden den Techniker um Hilfe bitten. Dies geschieht dadurch, dass zunächst Zufallszahlen für A und B ermittelt werden und jeweils gemäß der angegebenen Wahrscheinlichkeit ein Servicebedarf festgestellt wird. Da gängige Zufallszahlengeneratoren Zufallszahlen zwischen 0 und 1 generieren, kann die Zuordnung Servicebedarf erfolgen, wenn die Zufallszahl des Kunden A kleiner als 0,2 und die des Kunden B kleiner als 0,05 ist. Damit ist der erste Schritt im Vorgehen von Metropolis und Ulam bereits erledigt. Anschließend ist die Zielgröße der Simulation zu ermitteln, was im vorliegenden Fall bedeutet, dass beide Kunden gleichzeitig einen Servicebedarf (beziehungsweise keinen gleichzeitigen Servicebedarf) anmelden. Dies entspricht bereits dem zweiten Schritt des von Metropolis und Ulam beschriebenen Vorgehens.

Diese Abfolge der Schritte 1 und 2 wird nun so lange wiederholt, bis die sich ergebende Verteilung der Zielgröße eine stabile Verteilung zeigt. Wie aus nachfolgender Abbildung ersichtlich, konvergiert die Zielgröße mit steigender Anzahl an Simulationsläufen gegen den bereits analytisch ermittelten Wert von 1 Prozent.

Beispielhafter Ablauf der beschriebenen Monte-Carlo-Simulation

Typische Anwendungsfälle

Generell lassen sich zwei Problemgruppen unterscheiden, bei denen die Monte-Carlo-Methode angewendet werden kann. Mit ihrer Hilfe können einerseits Problemstellungen deterministischer Natur, die eine eindeutige Lösung besitzen, bearbeitet werden. Auf der anderen Seite sind aber auch Fragen, die sich der Gruppe stochastischer Problemstellungen zuordnen lassen, für eine Monte-Carlo-Simulation ein geeignetes Anwendungsfeld. Zum letzten gehört beispielsweise das im vorherigen Absatz beschriebene Beispiel.

Ein typisches und weit bekanntes Anwendungsbeispiel der ersten Problemgruppe ist die Berechnung von Integralen, beispielsweise zur Ermittlung der Zahl π, die hier zum Verständnis der Methode kurz dargestellt werden soll. Bei der auch "Hit or Miss" benannten Methode werden eine große Anzahl zufälliger Wertepaare (x, y) ermittelt, wobei x und yjeweils gleichverteilte Zufallszahlen zwischen 0 und 1 sind. Anschließend wird gezählt, wie viele dieser Wertepaare innerhalb des durch x²+y² < 1 beschriebenen Viertelkreises befinden. Diese Anzahl der "Treffer" (Hit) bezogen auf die Anzahl aller zufälligen Wertepaare (x, y) ist ein Näherungswert für π/4. Kennzeichnend für dieses Vorgehen ist es, dass das Ergebnis faktisch aus einer zufälligen Stichprobe an Wertepaaren ermittelt wird, obwohl eine analytisch exakte Ermittlung ebenfalls möglich wäre.

Ermittlung der Zahl π mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation

Der mit dem Einsatz der Monte-Carlo-Methode erzielte Vorteil liegt in einer sehr schnellen und einfachen Ermittlung des Ergebnisses. Dafür werden dann durch das Näherungsverfahren entstehende Genauigkeitsverluste im Vergleich zu einer exakten Ergebnisermittlung, die häufig wesentlich aufwändiger und deutlich zeitintensiver ist, bewusst in Kauf genommen. Und so findet die Monte-Carlo-Methode in diesem Problemfeld neben der Berechnung von bestimmten Integralen beispielsweise ebenfalls Anwendung bei der Lösung gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, insbesondere in der Teilchenphysik.

Die zweite Problemgruppe stochastischer Fragestellungen ist dadurch gekennzeichnet, dass die Eingangsparameter und daraus resultierend auch die Zielgrößen stochastischer Natur sind. Damit ist gemeint, dass statt eines wohldefinierten Wertes für den Parameter im einfachsten Fall mehrere mögliche diskrete Werte, jeweils versehen mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit, gegeben sind. Im Allgemeinen stammen die Parameter sogar aus einem Kontinuum an Werten, für das eine Wahrscheinlichkeitsdichte, eine sogenannte Verteilungsfunktion, bekannt ist oder gar nur geschätzt wird. Die mit diesen Parametern in Verbindung stehenden Zielgrößen sind dann ebenfalls stochastischer Natur, was heißt, dass sie mittels einer Verteilungsfunktion beschreibbar sind.

Bei geringer Komplexität der Zusammenhänge zwischen Parametern und Zielgrößen und gleichzeitig einfachen Verteilungsfunktionen der Parameter können die Verteilungsfunktionen der Zielgrößen meist noch analytisch ermittelt werden. Schnell ist jedoch eine Grenze erreicht, wo die analytische Ermittlung zu aufwändig wird oder auch gar nicht mehr möglich ist. Hier kommt dann die Monte-Carlo-Methode zum Einsatz. Wie bereits oben beschrieben werden dazu auf Basis der Verteilungsfunktionen zufällige Parameter ausgewählt und für diese werden die zugehörigen Zielgrößen ermittelt. Durch ein vielfaches Wiederholen dieser Ermittlung der Zielgrößen wird für diese eine Häufigkeitsverteilung bestimmt, die eine Näherung für die tatsächliche Verteilungsfunktion der Zielgrößen darstellt.

Aus einer betriebswirtschaftlichen Sicht können somit alle Fragen untersucht werden, die

entweder aufgrund der Vielzahl ihrer Einflussgrößen nicht mehr exakt analysiert werden (können) und bei denen daher auf eine Stichprobe für die Analyse zurückgegriffen wird;
oder bei denen die Eingangsparameter Zufallsgrößen sind. (Auch die Optimierung von Prozessen oder Entscheidungen bei nicht exakt bekannten Parametern gehören zu dieser Gruppe.)

Diese beiden Kriterien treffen nun auf eine Vielzahl betriebswirtschaftlicher Entscheidungen zu, dementsprechend finden sich eine ganze Reihe konkreter Anwendungsfälle von Monte-Carlo-Simulationen in betriebswirtschaftlichen Fragestellungen:

Die Stabilitätsanalyse von Algorithmen und Systemen. Hier werden Monte-Carlo-Simulationen genutzt, um beispielsweise in der Kostenrechnung die Auswirkungen veränderter Aufteiler in der Kostenträgerrechnung auf die Produktkosten zu ermitteln.
Die Aggregation von Einzelrisiken eines Unternehmens zu einem unternehmerischen Gesamtrisiko. Hierbei wird für jedes Einzelrisiko eine Wahrscheinlichkeitsverteilung geschätzt, um daraus mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation ein aggregiertes Risiko zu ermitteln. Die entstehende Verteilungsfunktion wird in aller Regel auf einzelne kommunizierbare Kennzahlen, etwa Erwartungswert oder ausgewählte Quantilswerte – wie etwa dem Value at Risk oder das Risikokapital – verdichtet.
Ein wichtiger Schritt zu einer risikoorientierten Weiterentwicklung des Controllings stellt die so genannte "Szenario-Planung" dar. Hierbei werden zukünftige EBIT-Entwicklungen unter Berücksichtigung von Risiken (EBIT-at-Risk) simuliert. Hierbei liegt die Erkenntnis zu Grunde, dass Szenarien und Simulationen bewährte Instrumente aus der Praxis darstellen, um sich mit zukünftigen potenziellen Entwicklungen zu beschäftigen. Eine risikoorientierte Planung verfolgt das Ziel, die traditionelle "einwertige" Planung mit einem Erwartungs- oder Zielwert durch eine realistischere Planung unter Nutzung von Verteilungsfunktionen ("stochastische Planung") zu ersetzen, die sowohl das erwartete Ergebnis als auch den Umfang möglicher Abweichungen (Risiken) beschreiben kann [vgl. vertiefend Romeike 2010, S. 13-19 sowie Romeike/Hager 2014].
Die Vorhersage von Entwicklungen, die selbst durch zufällige Ereignisse beeinflusst werden (sogenannte stochastische Prozesse). Klassische Beispiele sind die Simulationvon Börsen- oder Währungskurse, die auf die Dissertation des französischen Mathematikers Louis Bachelier zurück geht. Basierend auf eigenen Annahmen, gegebenenfalls begründet mit Beobachtungen aus der Vergangenheit, werden hierbei derartige Entwicklungen simuliert und ihre Auswirkungen auf betriebswirtschaftliche Größen analysiert.
Die Optimierung von eigenen Entscheidungen, die auf unsicheren Annahmen beruhen. Hierunter fallen beispielweise die Gewinnmaximierung bei unsicherem Absatz im Newsvendor-Modell. Im Newsvendor-Modell kauft ein Zeitungsjunge morgens eine Anzahl an Zeitungen, um sie anschließend an seine Kunden weiter zu verkaufen. Nicht verkaufte Zeitungen kann er nur mit Verlust zurückgeben, so dass sich für ihn die Frage seiner optimalen Einkaufsmenge stellt. Ist die Marktnachfrage eine stochastische Größe, so ist die Maximierung seines Gewinnerwartungswerts ist zwar formal-analytisch möglich. Jedoch ist damit keinesfalls die optimale Einkaufsmenge exakt ermittelbar, dies geht nur bei einfachen stochastischen Nachfragefunktionen (für eine Lösung mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen siehe beispielsweise Microsoft 2003) ebenso wie die Analyse und Optimierung von Investitionsvorhaben in Hinblick auf die Erfolgswahrscheinlichkeit oder Finanzierung der Investition [vgl. beispielsweise Duscher/Meyer/Spitzner 2012 sowie Romeike/Hager 2009 sowie Romeike/Hager 2013].

Weiterführende Literaturhinweise:

Duscher, I./Meyer, M./Spitzner, J. (2012): Volatilität kalkulieren und steuern im Sinne eines wertorientierten Investitionscontrollings, in: Zeitschrift für Controlling und Management, Sonderheft 2, Juli 2012, S. 46-51.
Grinstead, C. M./Snell, J. L. (1997): Introduction to Probability, American Mathematical Society, 1997.
Hubbard, D. (2007): How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business, Hoboken 2007.
Kaiser, H./Nöbauer, W. (1998): Geschichte der Mathematik, Wien 1998.
Metropolis, N. C./Ulam, S. (1949): The Monte Carlo Method, Journal of the American Statistical Association, Vol. 44, No. 247, (Sep. 1949), S. 335-341.
Microsoft (2003): Introduction to Monte Carlo simulation, http://office.microsoft.com/en-us/excel/HA011118931033.aspx
Romeike, F. (2010): Risikoadjustierte Unternehmensplanung – Optimierung risikobehafteter Entscheidungen basierend auf stochastischen Szenariomethoden, in: Risk, Compliance & Audit, 06/2010, S. 13-19.
Romeike, F./Spitzner, J. (2013): Von Szenarioanalyse bis Wargaming, Betriebswirtschaftliche Simulationen im Praxiseinsatz, Weinheim 2013.
Romeike, F./Hager, P. (2009): Erfolgsfaktor Risk Management 2.0 – Methoden, Beispiele, Checklisten: Praxishandbuch für Industrie und Handel, 2. Auflage, Wiesbaden 2009.
Romeike, F./Hager, P. (2013): Erfolgsfaktor Risk Management 3.0 – Methoden, Beispiele, Checklisten: Praxishandbuch für Industrie und Handel, 3. Auflage, Wiesbaden 2013.
Ulam, S./Richtmyer, R. D./von Neumann, J. (1947): Statistical methods in neutron diffusion, in: Los Alamos Scientific Laboratory report LAMS-551; Los Alamos 1947.

System Dynamics

System Dynamics (SD) oder Systemdynamik ist eine von Jay W. Forrester an der Sloan School of Management des MIT entwickelte Methodik zur ganzheitlichen Analyse und (Modell-) Simulation komplexer und dynamischer Systeme. Anwendung findet sie insbesondere im sozio-ökonomischen Bereich. So können die Auswirkungen von Management-Entscheidungen auf die Systemstruktur und das Systemverhalten (beispielsweise Unternehmenserfolg) simuliert und Handlungsempfehlungen abgeleitet werden. In der Praxis findet die Methodik insbesondere bei der Gestaltung von Lernlabors und der Hinterlegung von Balanced Scorecards mit Strategy Maps Verwendung. Die Erarbeitung solcher Systeme erfolgt mittels qualitativer und quantitativer Modelle auf Basis von Ursache-Wirkungsbeziehungen.

System Dynamics lieferte die grundlegende Methodik zur Simulation des Weltmodells World3, das für die Studie "Die Grenzen des Wachstums" im Auftrag des Club of Rome erstellt wurde.

Die heute verwendeten Werkzeuge beispielsweise im Risikomanagement treffen immer häufiger auf Grenzen, da sie mit der Komplexität der Strukturen und Prozesse der realen Welt nicht adäquat umgehen können. Bereits Anfang der 1950er Jahre hatte Jay Wright Forrester an der Sloan School of Management des Massachusetts Institute of Technology "System Dynamics" (SD) als Methodik zur ganzheitlichen Analyse und (Modell-)Simulationkomplexer und dynamischer Systeme entwickelt.

Ausschlaggebend für Forresters Analysen am Massachusetts Institute of Technology war eine Zusammenarbeit mit dem US-amerikanischen Konzern General Electric. Es fiel Forrester auf, dass ihm bei der Suche nach Gründen für die nicht optimale Auslastung eines Werkes sein Wissen als Ingenieur half. Die Situation von General Electric wurde in einem formalen Modell abgebildet und ihre zeitliche Entwicklung mit Hilfe eines Computers simuliert. Dabei kristallisierte sich neben den bekannten Geschäftszyklen die Struktur eines schwingenden, instabilen Systems heraus, bei dem trotz konstanter Auftragseingänge instabile Beschäftigungsverhältnisse als Konsequenz vorliegender "policies" auftraten. Forrester veröffentlichte basierend auf diesen Erkenntnissen sein Werk "Industrial Dynamics" [Forrester 1961], in dem er formulierte: "Industrial Dynamics is the investigation of the information-feedback character of industrial systems and the use of models for the design of improved organizational form and guiding policy." [Forrester 1961, S. 13].

Methodik zur Simulation des Weltmodells World3

Ausgehend von der Erkenntnis, dass mit Hilfe dieser Methode sämtliche soziale Systeme modelliert und diese Modelle anschließend simuliert werden können, lag es nahe, den speziellen Begriff "Industrial Dynamics" in den allgemeineren Ausdruck "System Dynamics" umzubenennen. System Dynamics war auch die grundlegende Methodik zur Simulation des Weltmodells World3, einer Studie zur Zukunft der Weltwirtschaft, die der Club of Rome in Auftrag gegeben hatte [Meadows/Meadows/Randers/Behrens III 1972].

Ausgangspunkt für die Entwicklung von System Dynamics bildete die wissenschaftliche Diskrepanz zwischen Ansätzen der klassischen Ökonometrie sowie einer ganzheitlichen Analyse und (Modell-) Simulation komplexer und dynamischer Systeme [vgl. Forrester 1961 sowie Forrester 1971]. System Dynamics ist daher als eine Methodik zur Modellierung, Simulation, Analyse und Gestaltung von dynamisch-komplexen Sachverhalten in sozioökonomischen Systemen zu verstehen. Dynamische und komplexe Systeme – wie eben auch Unternehmen – zeichnen sich unter anderem sowohl durch verzögerte Ursache-Wirkungs-Effekte als auch durch Rückkopplungsbeziehungen zwischen einzelnen Variablen aus. Klassische ökonometrische Modelle sind grundsätzlich stochastischer Art, da zur Schätzung die Verfahren der schließenden (induktiven) Statistik angewandt werden. Nicht alle Variablen eines ökonometrischen Modells sind direkt beobachtbar (latente Variablen). Beobachtbar sind die exogenen (Input) und die endogenen (Output) Variablen.

System Dynamics beschäftigt sich mit dem Verhalten von gelenkten Systemen im Zeitablauf. Es verfolgt das Ziel, Systeme mit Hilfe qualitativer und quantitativer Modelle nicht nur zu beschreiben, sondern auch zu verstehen, wie Rückkopplungsstrukturen das Systemverhalten determinieren. Der Begriff System – aus dem Griechischen für "das Gebilde" und "das Verbundene" – bezeichnet hierbei eine Gesamtheit von Elementen, die so aufeinander bezogen beziehungsweise miteinander verbunden sind und in einer Weise wechselwirken, dass sie als eine aufgaben-, sinn- oder zweckgebundene Einheit angesehen werden können. Coyle definiert daher System Dynamics wie folgt: "System Dynamics deals with the time-dependent behavior of managed systems with the aim of describing the system and understanding, through qualitative and quantitative models, how information feedback structures and control policies through simulations and optimization." [Coyle 1996, S. 10].

System Dynamics bildet komplexe Strukturen modellseitig ab und ermöglicht Entscheidern, die Beziehungen zwischen einzelnen Systemkomponenten besser zu identifizieren. Von Komplexität wird immer dann gesprochen, wenn ein System in seiner Zusammensetzung kompliziert ist und dazu noch seinen Zustand im Zeitablauf ändert. Komplexität bezeichnet die aus den Beziehungen hervorgehende Vielfältigkeit von Zuständen und Zustandskonfigurationen in Systemen während einer Zeitspanne [Ulrich/Probst 1991, S. 58]. Dabei ist die Komplexität umso größer, je mehr Elemente vorhanden und je mehr diese voneinander abhängig sind.

System Dynamics unterstützt die Entwicklung formaler, mathematischer Modelle, um das Systemverhalten zu simulieren. Aufgrund der geschlossenen Struktur von System Dynamics sind in derartigen Modellen keine exogenen Variablen enthalten. Lediglich die Anfangswerte der Zustandsvariablen (Level) und die Parameter (constants), als konstante Hilfsgrößen, werden exogen in das isolierte System vorgegeben. Dabei sind die Zustandsvariablen aufgrund der interdependenten Struktur tatsächlich endogen.

Forrester lehnt eine Steuerung eines Modellsystems durch exogene Variablen ab, da sich alle ökologischen, sozialen und politischen Vorgänge in einem geschlossenen (Sub-)System abspielen [vgl. Forrester 1972, S. 137 ff.]. Der Reproduktion der entsprechenden Variablen innerhalb der Rückkopplungsstruktur des geschlossenen Systems misst Forrester eine sehr große Bedeutung bei [vgl. Forrester 1961, S. 348].

Ein wichtiges Kriterium von System Dynamics ist, dass auch nicht-lineare Beziehungen zwischen den Variablen simuliert werden können. In der klassischen Ökonometrie werden dagegen primär lineare Modelle betrachtet beziehungsweise nicht-lineare Funktionstypen in lineare transformiert. Lehmann merkt hierzu kritisch an, dass die Ökonometrie "ihre Modellstruktur der mathematischen Lösungstechniken" [Lehmann 1975, S. 40] anpasse.

Illustration der Methode

System Dynamics verfolgt das Ziel, das Verhalten eines komplexen Systems zu erklären. Um dieses Ziel zu erreichen, werden relevante Systemstrukturen modelliert. In einem System-Dynamics-Modell werden hierzu vier konstituierende Elemente dynamischer sozio-ökonomischer Systeme erfasst:

Bestandsgrößen (level, stock): Bestandsgrößen sind Systemvariablen, die den aktuellen Zustand eines dynamischen Systems beschreiben, beispielsweise die aktuelle Risikosituation oder den aktuellen Lagerbestand.
Kausale Feedbackbeziehungen (feedback loops): Hierbei wird zwischen positiven (reinforcing loops) und negativen (balancing loops) Polaritäten unterschieden. Feedback ist die Rückführung von Informationen über den aktuellen Zustand eines Systems auf dessen Eingang. Die Interaktion von Feedbackbeziehungen regelt das Verhalten eines Systems.
Wirkungsverzögerungen (delay): Diese sind dadurch gekennzeichnet, dass Ursache und Wirkung zeitlich voneinander getrennt sind.
Nichtlinearitäten (nonlinearities): Die Besonderheit von System Dynamics liegt darin, dass auch Nichtlinearitäten berücksichtigt werden können. Ein System ist immer dann nichtlinear, wenn Anpassungen in der Ausbringungsmenge nicht proportional zu Änderungen in der Eingabemenge sind.

Um ein System Dynamics Modell zu definieren, wird nach einer grundsätzlichen Beschreibung des Modells in einem zweiten Schritt ein kausales Rückkopplungsdiagramm (Causal Loop Diagram, CLD) erstellt. In weiteren Schritten folgen die Konvertierung der Beschreibung in Bestandsgrößen- und Flussdiagramme (Stock and Flow Diagram, SFD). Die anschließende Simulation des Modells unterstützt das Entwerfen von alternativen "policies" und Strukturen sowie die Diskussion dazu. So können geeignete "policy"- und Strukturveränderungen identifiziert werden. Ein typisches Ursache-Wirkungsgeflecht eines System-Dynamics-Modells zeigt die nachfolgende Abbildung.

Beispiel eines einfachen System-Dynamics-Modells

Typische Anwendungsfälle

System Dynamics wird vor allem zur Modellierung komplexer und dynamischer Systeme eingesetzt. Die Methodik bietet die Möglichkeit, komplexe Ursache-Wirkungsgeflechte granular abzubilden und anschließend zu analysieren. Die Auswirkungen singulärer Entscheidungen werden so häufig erst in ihrer umfänglichen Tragweite transparent und auch unter langfristigen Gesichtspunkten begründbar. So können System-Dynamics-Analysen dazu führen, dass ursprünglich für richtig befundene Entscheidungen und Entscheidungsregeln revidiert werden müssen, da aus einer ganzheitlichen Systemanalyse zuvor unbedachte Effekte ersichtlich werden.

System Dynamics ist ein methodischer Ansatz, mit dessen Hilfe ein System ganzheitlich betrachtet wird. Daher liegt der Schwerpunkt von System Dynamics auf Analysen in einer nicht-atomistischen Sichtweise. (Diese Metasicht wird häufig auch als Kritik gegenüber System Dynamics vorgebracht.) Mit dieser Makroperspektive wird der Fokus der Analyse auf die ein System determinierenden Elemente und deren Interaktion gelenkt. Dahinter steckt die Logik, dass ein komplexes und dynamisches System nur dann verstanden werden kann, wenn die Komplexität möglichst adäquat abgebildet wird. Um die reale Komplexität erfassen zu können, bedarf es darüber hinaus einer nicht-linearen Art des Denkens. Dieser Theorieansatz des nicht-linearen Denkens kann unter dem Begriff "systems thinking" subsumiert werden [vgl. Sterman 1994, 2-3, S. 291 und Ossimitz 1995, S. 6].

Vor diesem Hintergrund sind typische Anwendungen im betriebswirtschaftlichen Kontext:

Bevorstehende Entscheidungssituationen sind durch Rückkopplungen und zeitliche Verzögerungen gekennzeichnet. Deren Auswirkungen können mit Hilfe eines System-Dynamics-Ansatzes sichtbar gemacht werden. Mögliche Entscheidungsalternativen können daher analysiert und darauf aufbauend eine optimale Auswahl getroffen werden.
Erklärungsmodelle von Systemverhalten. Um scheinbar überraschende Effekte zu erklären, wird System Dynamics in der Aus- und Weiterbildung eingesetzt. Hierzu werden Modelle eines Systems nachgebaut und mit einer Art spielerischen Erlebens werden die Konsequenzen von Entscheidungen transparent gemacht. Die Analyse der relevanten Systemkomponenten im Nachgang von simulierten Entscheidungssituationen zeigt die systemischen Wirkzusammenhänge auf. Beispiele derartiger Erklärungsmodelle sind Fish Banks [vgl. Whelan 1994 sowie Ford 1999] oder das Beer Game [vgl. Sterman 1989 sowie Sterman 1984].

Weitere betriebswirtschaftliche Anwendungsgebiete sind Unternehmensentwicklung [vgl. Mass/Berkson 1995, Glucksman/Morecroft 1998 sowie Lyneis 1980], Energieversorgung und –preisgestaltung [vgl. Naill 1992] und das Managementtraining [Rosenørn/Kofoed 1998 sowie Warren/Langley 1999]. Darüber hinaus wird die Methodik auch erfolgreich zur Untersuchung auf Gebieten wie Medizin [vgl. Dangerfield 1999], Fischerei [Hannon/Ruth 1994], Psychiatrie, Volkswirtschaften [vgl. Heij/Schumacher/Hanzon/Praagman 1997], städtischem Wachstum [vgl. Forrester 1969], Umweltverschmutzung, Bevölkerungswachstum [Dörner 1989] sowie Pädagogik [vgl. Coyle 1999 sowie Milling 1999] herangezogen.

Weiterführende Literaturhinweise:

Coyle, R. G. (1996): System Dynamics modelling – A practical approach, London 1996.
Coyle, R. G. (1999): System dynamics at Bradford University: a silver jubilee review, in: Journal of the Operational Research Society, 50, 1999, 4, S. 296-301
Dangerfield, B. C. (1999): System dynamics applications to European health care issues, in: Journal of the Operational Research Society, 50, 1999, 4, S. 345-353.
Dörner, D. (1989): Die Logik des Misslingens. Strategisches Denken in komplexen Situationen, Reinbek 1989.
Forrester, J. W. (1961): Industrial Dynamics, Waltham/MA 1961.
Ford, F. A. (1999): Modeling the Environment: An Introduction to System Dynamics Models of Environmental Systems, Island Press, Washington DC 1999.
Forrester, J. W. (1969): Urban dynamics, Portland 1969.
Forrester, J. W. (1971): Counterintuitive behavior of social systems, in: Technology Review. 73(3) 1971, S. 52-68.
Forrester, J. W. (1972): Grundzüge einer Systemtheorie, Wiesbaden 1972.
Glucksman, M./Morecroft, J. (1998): Managing metamorphosis, in: The McKinsey Quarterly, 34, 1998, 2, S. 118-129.
Hannon, B. M./Ruth, M. (1994): Dynamic modeling, Springer, New York/Berlin 1994.
Heij, C./Schumacher, H./Hanzon, B./Praagman, K. (1997) [Hrsg.]: System dynamics in economic and financial models, John Wiley and Sons, Chichester/New York 1997.
Lehmann, G. (1975): Wirtschaftswachstum im Gleichgewicht, Stuttgart 1975.
Lyneis, J. M. (1980): Corporate planning and policy design: a system dynamics approach, MIT Press, Cambridge/London 1980.
Mass, N. J./Berkson, B. (1995): Going slow to go fast, in: The McKinsey Quarterly, 31, 1995, 4, S. 19-29.
Meadows, D. H./Meadows, D. L./Randers, J./Behrens III, W. W. (1972): The Limits to Growth, New York 1972.
Milling, P. M. (1999): System dynamics at Mannheim University, in: Journal of the Operational Research Society, 50, 1999.
Naill, R. F. (1992): A system dynamics model for national energy policy planning, in: System Dynamics Review, 8, 1992, 1, S. 1-19.
Ossimitz, G. (1995): Systemisches Denken und Modellbilden, Arbeitspapier des Instituts für Mathematik, Statistik und Didaktik der Mathematik der Universität Klagenfurt, Klagenfurt 1995.
Romeike, F./Spitzner, J. (2013): Von Szenarioanalyse bis Wargaming, Betriebswirtschaftliche Simulationen im Praxiseinsatz, Weinheim 2013.
Rosenørn, T./Kofoed, L. B. (1998): Reflection in learning processes through simulating/gaming, in: Simulation & Gaming, 29, 1998, 4, S. 432-440.
Sterman, J. D. (1984): Instructions for Running the Beer Distribution Game. D-3679, System Dynamics Group, MIT, E60-388, Cambridge, MA 02139.
Sterman, J. D. (1989): Modeling Managerial Behavior: Misperceptions of Feedback in a Dynamic Decision Making Experiment, in: Management Science, 35(3), 321-339.
Sterman, J. D. (1994): Learning in and about complex systems; in: System Dynamics Review, 10, 1994.
Ulrich, H./Probst, G. J. B. (1991): Anleitung zum ganzheitlichen Denken und Handeln: Ein Brevier für Führungskräfte, 3. Auflage, Bern/Stuttgart 1991.
Warren, K. D./Langley, P. A. (1999): The effective communication of system dynamics to improve insight and learning in management education, in: Journal of the Operational Research Society, 50, 1999, 4, S. 396-404.
Whelan, J. G. (1994): Building the Fish Banks Model and Renewable Resource Depletion, Prepared for System Dynamics Education Project, Sloan School of Management, Massachusetts Institute of Technology, July 1994.

Methoden des Risk Managements

Kursthemen

Allgemeines

Der Value at Risk als Standardrisikomaß

Warum Value at Risk?

Die Geburtsstunde des Value at Risk

Definition und Berechnung des Value at Risk

Grenzen des Value at Risk

Risikomaß für Sonnenwetter und Schlechtwetter

Weiterführende Literaturhinweise:

Cash Flow at Risk im Corporate Risk Management

Weiterführende Literaturhinweise:

Varianz-Kovarianz-Ansatz (Delta-Normal-Ansatz, Delta-Gamma-Ansatz)

Delta-Normal-Ansatz bzw. Varianz-Kovarianz-Ansatz

Fazit

Weiterführende Literaturhinweise:

FMEA (Failure Mode and Effects Analysis)

Risikobewertung bei der FMEA

Weiterführende Literaturhinweise:

Fehlerbaumanalyse

Weiterführende Literaturhinweise:

Szenarioanalyse (deterministisch)

Vorgehensweise bei der Szenarioanalyse

Analyse der Einflussfaktoren

Typische Anwendungsfälle

Szenariotrichter zur Visualisierung

Weiterführende Literaturhinweise:

Monte-Carlo-Simulation

Illustration der Methode

Typische Anwendungsfälle

Weiterführende Literaturhinweise:

System Dynamics

Methodik zur Simulation des Weltmodells World3

Illustration der Methode

Typische Anwendungsfälle

Weiterführende Literaturhinweise: